Question

Решить уравнение 4^x+1+19*2^x-5=0

Answer 1

2^x=a
4a²+19a-5=0
D=361+80=441
a1=(-19-21)/8=-5⇒2^x=-5-нет решения
a2=(-19+21)/8=1/4⇒2^x=1/4⇒x=-2

Answer 2

Для начала, заметим, что данное уравнение является экспоненциальным уравнением, так как содержит переменную в показателе степени.

Чтобы решить данное уравнение, мы можем использовать замену переменной. Пусть y = 2^x. Тогда уравнение примет вид:

4^x + 1 + 19y - 5 = 0.

Перепишем уравнение в терминах y:

4^x = -19y + 4.

Теперь заменим 4^x на выражение с использованием y:

(2^2)^x = -19y + 4.

2^(2x) = -19y + 4.

Так как y = 2^x, то можно написать:

2^(2x) = -19(2^x) + 4.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно 2^x. Приведем его к стандартному виду:

2^(2x) + 19(2^x) - 4 = 0.

Теперь мы можем воспользоваться заменой переменной, чтобы решить это уравнение. Пусть z = 2^x. Тогда уравнение примет вид:

z^2 + 19z - 4 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, полного квадрата или квадратного корня. Для этого найдем два числа, которые при произведении дают -4, а при суммировании дают 19. Эти числа - 4 и 1. Тогда квадратное уравнение можно разложить на множители:

(z + 4)(z - 1) = 0.

Теперь мы имеем два возможных значения для z:

z + 4 = 0 или z - 1 = 0.

Решим каждое из этих уравнений относительно z:

z = -4 или z = 1.

Теперь мы можем восстановить значения x, используя замену переменной:

2^x = -4 или 2^x = 1.

Для первого уравнения у нас нет решений, так как 2^x всегда положительно. Для второго уравнения мы имеем:

x = 0.

Таким образом, решение исходного уравнения 4^x + 1 + 19*2^x - 5 = 0 - это x = 0.