Question

Помогите. Решить уравнение: tg²x-2sin²x=0 и найти все корни, принадлежащие промежутку [-3π/4; 2π]

Answer 1

Tg²x - 2sin²x = 0
sin²x/cos²x - 2sin²x = 0
ОДЗ:
cosx ≠ 0
x ≠ π/2 + πm, m ∈ Z
sin²x - 2sin²xcos²x = 0
sin²x(1 - 2cos²x) = 0
Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) sinx = 0
x = πn, n ∈ Z - данное решение не уд. ОДЗ
2) 1 - 2cos²x = 0
-(2cos²x - 1) = 0
-cos2x = 0
cos2x = 0
2x = π/2 + πk, k ∈ Z
x =  π/4 + πk/2, k ∈ Z

-3π/4 ≤ πn ≤ 2π, n ∈ Z
-0,75 ≤ n ≤ 2, n ∈ Z
n = 0; 1; 2.
x₁ = -π;
x₂ = 0
x₃ = π
-3π/4 ≤ π/4 + πk/2 ≤ 2π, k ∈ Z  
-3 ≤ 1 + 2k ≤ 8, k ∈ Z
k = -2; -1; 0; 1; 2; 3
x₄ = π/4  - π = -3π/4
x₅ = π/4 - π/2 = -π/4
x₆ = π/4
x₇ = π/4 + π/2 = 3π/4
x₈ = π/4 + π = 5π/4
x₉ = π/4 + 3π/2 = 7π/4

Ответ: x = πn, n ∈ Z; π/4 + πk/2, k ∈ Z; -π; 0; π; -3π/4;  -π/4; π/4; 3π/4; 5π/4; 7π/4.

Answer 2

Данное уравнение требует решения для переменной x в промежутке от -3π/4 до 2π. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать тригонометрические тождества для переписывания его в более удобной форме.

Начнем с исходного уравнения:

tg²x - 2sin²x = 0

Мы можем использовать тождество tg²x = sin²x / cos²x для замены tg²x в уравнении:

(sin²x / cos²x) - 2sin²x = 0

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только sin²x и cos²x. Мы можем использовать тождество sin²x + cos²x = 1 для замены cos²x в уравнении:

(sin²x / (1 - sin²x)) - 2sin²x = 0

Умножим оба члена уравнения на (1 - sin²x), чтобы избавиться от дроби:

sin²x - sin⁴x - 2sin²x(1 - sin²x) = 0

Раскроем скобки:

sin²x - sin⁴x - 2sin²x + 2sin⁴x = 0

Сгруппируем подобные слагаемые:

3sin⁴x - sin²x = 0

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только степени sinx. Мы можем использовать замену u = sin²x для упрощения уравнения:

3u² - u = 0

Факторизуем это уравнение:

u(3u - 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения u:

u = 0 или 3u - 1 = 0

Если u = 0, то sin²x = 0. В промежутке [-3π/4, 2π], это соответствует значениям x = 0 и x = π.

Если 3u - 1 = 0, то u = 1/3. В промежутке [-3π/4, 2π], это соответствует значению x = π/3.

Таким образом, все корни уравнения tg²x - 2sin²x = 0, принадлежащие промежутку [-3π/4, 2π], равны x = 0, x = π и x = π/3.