Question

Решить тригонометрическое уравнение: 2cosx-cos2x-cos^2x=0

Answer 1

2cosx-(2cos^2x-1)=0
2cosx-2cos^2x+1=0
-2cos^2x+2cosx+1=0|(-1)
2cos^2x-2cosx-1=0
cosx=t
2t^2-2t-1=0
t1=-(sqrt(3)-1)/2 t2=sqrt(3)/2+1/2
cosx=-(sqrt(3)-1)/2
x1=+-arccos-(sqrt(3)-1)/2+2piK
cosx=sqrt(3)/2+1/2
x=+-arccossqrt(3)/2+1/2+2piK
Где к принадлежит Z

ТАК?

Answer 2

Для того чтобы решить данное тригонометрическое уравнение, давайте разберемся пошагово.

Уравнение, которое нам дано, выглядит следующим образом:

2cos(x) - cos(2x) - cos^2(x) = 0

Для удобства решения, давайте заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x), используя тригонометрическую тождества: 2cos(x) - cos(2x) - (1 - sin^2(x)) = 0

Теперь мы можем объединить первые два слагаемых, используя формулу двойного угла для косинуса: 2cos(x) - (2cos^2(x) - 1) - (1 - sin^2(x)) = 0

Упростим это выражение: 2cos(x) - 2cos^2(x) + 1 - 1 + sin^2(x) = 0

Теперь объединим слагаемые: 2cos(x) - 2cos^2(x) + sin^2(x) = 0

Заметим, что 2cos(x) - 2cos^2(x) может быть переписано в виде 2cos(x)(1 - cos(x)). Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом: 2cos(x)(1 - cos(x)) + sin^2(x) = 0

Используя тригонометрическую идентичность sin^2(x) = 1 - cos^2(x), мы можем заменить sin^2(x) в исходном уравнении: 2cos(x)(1 - cos(x)) + (1 - cos^2(x)) = 0

Теперь раскроем скобки: 2cos(x) - 2cos^2(x) + 1 - cos^2(x) = 0

Сгруппируем слагаемые: 1 - 3cos^2(x) + 2cos(x) = 0

Давайте перепишем это уравнение в виде квадратного уравнения относительно cos(x): -3cos^2(x) + 2cos(x) + 1 = 0

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней.

Дискриминант D для данного уравнения равен: D = b^2 - 4ac

где a = -3, b = 2 и c = 1. Подставим значения и найдем D: D = 2^2 - 4(-3)(1) D = 4 + 12 D = 16

Так как D > 0, у нас есть два различных корня для уравнения.

Для нахождения корней, мы можем использовать формулу: cos(x) = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения и найдем корни: cos(x) = (-2 ± √16) / (2(-3)) cos(x) = (-2 ± 4) / (-6)

Теперь решим это уравнение для двух случаев:

1. Подставим cos(x) = (-2 + 4) / (-6): cos(x) = 2 / (-6) cos(x) = -1/3

2. Подставим cos(x) = (-2 - 4) / (-6): cos(x) = -6 / (-6) cos(x) = 1

Таким образом, мы нашли два значения cos(x): -1/3 и 1.

Итак, решения тригонометрического уравнения 2cos(x) - cos(2x) - cos^2(x) = 0 это: x = arccos(-1/3) и x = arccos(1).

Примечание: Важно отметить, что значения arccos(x) могут быть множественными, так как функция арккосинуса имеет период 2π. Поэтому, когда вы находите решение, обычно добавляются кратные периоды, чтобы учесть все возможные значения.