Question

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы y=2x^5+5x^4-10x^3+3

Answer 1

Чтобы найти экстремумы, надо найти первую производную от функции и приравнять её к нулю. Где она равна 0, там и экстремумы. Потом берём вторую производную и смотрим какой знак она имеет в точке экстремума. Если больше нуля, значит это точка минимума, если меньше нуля, значит это точка максимума.
первая производная равна: 10x^4+20x^3-30x^2. Приравниваем к нулю и ищем корни уравнения: 10x^4+20x^3-30x^2=0; Разделим уравнение на x^2, получим: 10x^2+20x-30=0; Решаем квадратное уравнение:
D=20^2-(4*10*(-30))=1600;
x1=(-20+40)/20=1
x2=(-20-40)/20=-3

Берём вторую производную: 40x^3+60x^2-60x подставляем найденные корни и смотрим на знак. x1=1) 40*1^3+60*1^2-60*1=40 это больше нуля, значит в точке x1=1 локальный минимум исходной функции.
x2=-3) 40*(-3)^3+60*(-3)^2-60*(-3)=-360 это меньше нуля, значит в точке x2=-3 локальный максимум исходной функции.
Значит исходная функция от -бесконечности до -3 возрастает, от -3 до 1 убывает, и от 1 до +бесконечности снова возрастает.

Answer 2

Для исследования функции на монотонность и экстремумы, сначала нам нужно найти ее производную. Производная функции y=2x^5+5x^4-10x^3+3 будет давать нам информацию о ее поведении.

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции y=2x^5+5x^4-10x^3+3, мы применим правила дифференцирования по отношению к каждому слагаемому. Для этой функции мы можем использовать правило степенной производной и правило суммы производных.

Применим правило степенной производной: если у нас есть функция f(x) = x^n, то ее производная f'(x) будет равна n*x^(n-1).

Применим правило суммы производных: если у нас есть функция f(x) = g(x) + h(x), то ее производная f'(x) будет равна сумме производных g'(x) и h'(x).

Применим эти правила к каждому слагаемому:

y = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3

y' = (2 * 5 * x^(5-1)) + (5 * 4 * x^(4-1)) - (10 * 3 * x^(3-1)) + 0

y' = 10x^4 + 20x^3 - 30x^2

Исследование на монотонность

Для исследования функции на монотонность, мы рассмотрим знак производной. Если производная положительна на интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на интервале, то функция монотонно убывает на этом интервале. Если производная равна нулю, то это может указывать на точки экстремума.

Давайте рассмотрим знак производной y' = 10x^4 + 20x^3 - 30x^2:

1. Для нахождения точек экстремума, мы должны решить уравнение y' = 0:

10x^4 + 20x^3 - 30x^2 = 0

Мы можем вынести общий множитель и решить полученное уравнение:

x^2(10x^2 + 20x - 30) = 0

Решение этого уравнения даст нам точки, где производная равна нулю и потенциальные точки экстремума.

2. После нахождения точек экстремума, мы можем использовать интервалы между этими точками для определения монотонности функции. Для этого мы выбираем произвольные значения из каждого интервала и проверяем знак производной в этих точках.

Нахождение точек экстремума

Решим уравнение 10x^4 + 20x^3 - 30x^2 = 0:

x^2(10x^2 + 20x - 30) = 0

Теперь мы можем решить уравнение 10x^2 + 20x - 30 = 0:

10x^2 + 20x - 30 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем применить квадратное уравнение или факторизацию. Поскольку это квадратное уравнение с положительным коэффициентом перед x^2, мы можем применить квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 10, b = 20 и c = -30.

Решив это уравнение, мы найдем две точки экстремума:

x1 ≈ -2.732 x2 ≈ 1.732

Исследование монотонности

Теперь, используя точки экстремума и интервалы между ними, мы можем определить монотонность функции.

1. Для интервала (-∞, -2.732): Выберем произвольную точку в этом интервале, например x = -3. Вычислим значение производной в этой точке: y'(-3) = 10(-3)^4 + 20(-3)^3 - 30(-3)^2 ≈ -3240 Так как значение производной отрицательно, функция монотонно убывает на этом интервале.

2. Для интервала (-2.732, 1.732): Выберем произвольную точку в этом интервале, например x = 0. Вычислим значение производной в этой точке: y'(0) = 10(0)^4 + 20(0)^3 - 30(0)^2 = 0 Так как значение производной равно нулю, это может указывать на точку экстремума, но нам уже известно, что здесь находится точка экстремума.

3. Для интервала (1.732, +∞): Выберем произвольную точку в этом интервале, например x = 2. Вычислим значение производной в этой точке: y'(2) = 10(2)^4 + 20(2)^3 - 30(2)^2 ≈ 360 Так как значение производной положительно, функция монотонно возрастает на этом интервале.

Выводы

Исследовав функцию y=2x^5+5x^4-10x^3+3 на монотонность и экстремумы, мы пришли к следующим выводам:

- Точки экстремума: x1 ≈ -2.732 (локальный максимум), x2 ≈ 1.732 (локальный минимум). - Функция монотонно убывает на интервале (-∞, -2.732) и монотонно возрастает на интервале (1.732, +∞). - Функция имеет локальный максимум в точке x1 ≈ -2.732 и локальный минимум в точке x2 ≈ 1.732.

Это исследование поможет нам лучше понять поведение функции y=2x^5+5x^4-10x^3+3 и использовать эту информацию в дальнейших вычислениях или анализе.