Question

Знайти найбільший цілий розв'язок нерівності(2х+1)(х+4)-3х9(х+2)> 0

Answer 1

(2х+1)(х+4)-3х(х+2)>0
2x²+8x+x+4-3x²-6x>0
-x²+3x+4>0
-x²+3x+4=0
D=b²-4ac=9+16=25=5²
x₁=(-3+5)/-2=-1
x₂=(-3-5)/-2=4

Ответ: 3 (:

Answer 2

Щоб знайти найбільший цілий розв'язок нерівності \((2x + 1)(x + 4) - 3x^9(x + 2) > 0\), спростимо вираз та визначимо інтервали, на яких нерівність виконується.

1. Розглянемо вираз \((2x + 1)(x + 4) - 3x^9(x + 2)\): \[(2x + 1)(x + 4) - 3x^9(x + 2) = 2x^2 + 8x + x + 4 - 3x^9(x + 2)\] Розгорнемо множення і згрупуємо члени: \[2x^2 + 9x + 4 - 3x^9(x + 2)\]

2. Тепер розглянемо як цей вираз взаємодіє з 0: \[2x^2 + 9x + 4 - 3x^9(x + 2) > 0\]

Здійснимо факторизацію цього виразу та знайдемо корені: \[2x^2 + 9x + 4 - 3x^9(x + 2) = (2x + 1)(x + 4) - x(3x^8(x + 2))\]

Корені: \[(2x + 1)(x + 4) - x(3x^8(x + 2)) = 0\] \[x = -\frac{1}{2}\] \[x = -4\]

Тепер визначимо знак виразу на кожному з інтервалів, які визначають ці корені:

1. \(x < -4\): Тестуємо точку \(x = -5\): \[(2(-5) + 1)(-5 + 4) - (-5)(3(-5)^8(-5 + 2)) = (-9)(-1) - (-5)(-3 \cdot 15625) > 0\] Отже, на цьому інтервалі нерівність виконується.

2. \(-4 < x < -\frac{1}{2}\): Тестуємо точку \(x = -1\): \[(2(-1) + 1)(-1 + 4) - (-1)(3(-1)^8(-1 + 2)) = (1)(3) - (-1)(3) > 0\] Отже, на цьому інтервалі нерівність виконується.

3. \(-\frac{1}{2} < x < -\frac{1}{2}\): Тестуємо точку \(x = 0\): \[(2(0) + 1)(0 + 4) - (0)(3(0)^8(0 + 2)) = (1)(4) > 0\] Отже, на цьому інтервалі нерівність не виконується.

4. \(x > -\frac{1}{2}\): Тестуємо точку \(x = 1\): \[(2(1) + 1)(1 + 4) - (1)(3(1)^8(1 + 2)) = (5)(6) - (3)(27) > 0\] Отже, на цьому інтервалі нерівність виконується.

Таким чином, найбільший цілий розв'язок нерівності \( (2x + 1)(x + 4) - 3x^9(x + 2) > 0 \) - це \( x = -1 \), а інтервали, на яких нерівність виконується, це \( x < -4 \) і \( -4 < x < -\frac{1}{2} \), а також \( x > -\frac{1}{2} \).