Question

Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0: а)f(x)=cosx,х0=2п/3; б)f(x)=sin^2x,х0=п/4

Answer 1

A)
f(x)=cos(x)
f`=-sin(x)
x0=2pi/3
f(x=2pi/3)=cos(2*pi/3)=-0,5
f`(x=2pi/3)=-sin(2*pi/3)=-корень(3)/2
уравнение касательной
y=(x-2*pi/3)*(-корень(3)/2) - 0,5

 б)
f(x)=sin^2x,х0=п/4
f`=2sin(x)*cos(x)=sin(2x)
f`(х=п/4)=sin(pi/2)=1
f(x=pi/4)=(sin(pi/4))^2=1/2
уравнение касательной
y=(x-pi/4)*1 + 0,5

Answer 2

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀: а) f(x) = cos(x), x₀ = 2π/3

Для нахождения уравнения касательной к графику функции f(x) в точке x₀, нам понадобится производная функции в этой точке. В данном случае, функция f(x) = cos(x), а точка x₀ = 2π/3.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) = cos(x). Производная косинуса равна минус синусу, то есть f'(x) = -sin(x).

Шаг 2: Подставим x₀ = 2π/3 в производную, чтобы найти значение производной в этой точке f'(x₀). В данном случае, f'(2π/3) = -sin(2π/3) = -√3/2.

Шаг 3: Для нахождения уравнения касательной, используем уравнение прямой y - y₀ = m(x - x₀), где (x₀, y₀) - координаты точки на графике функции, m - значение производной в этой точке.

В данном случае, x₀ = 2π/3, y₀ = cos(2π/3) = -1/2, и m = -√3/2.

Подставим эти значения в уравнение прямой: y - (-1/2) = (-√3/2)(x - 2π/3).

Упростим это уравнение: y + 1/2 = (-√3/2)x + √3π/3.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = cos(x) в точке x₀ = 2π/3 будет y + 1/2 = (-√3/2)x + √3π/3.

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀: б) f(x) = sin²(x), x₀ = π/4

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) = sin²(x). Для этого мы можем использовать правила дифференцирования. Производная sin²(x) равна 2sin(x)cos(x).

Шаг 2: Подставим x₀ = π/4 в производную, чтобы найти значение производной в этой точке f'(x₀). В данном случае, f'(π/4) = 2sin(π/4)cos(π/4) = 2(√2/2)(√2/2) = 1.

Шаг 3: Для нахождения уравнения касательной, используем уравнение прямой y - y₀ = m(x - x₀), где (x₀, y₀) - координаты точки на графике функции, m - значение производной в этой точке.

В данном случае, x₀ = π/4, y₀ = sin²(π/4) = 1/2, и m = 1.

Подставим эти значения в уравнение прямой: y - 1/2 = (1)(x - π/4).

Упростим это уравнение: y - 1/2 = x - π/4.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = sin²(x) в точке x₀ = π/4 будет y - 1/2 = x - π/4.