Question

Найти производную: y=x/x^2+1

Answer 1

$y= \frac{x}{x^2+1} \\\\y'= \frac{x^2+1-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}$

Answer 2

Давайте найдем производную функции \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) по переменной \( x \) с использованием правил дифференцирования.

1. Разделим числитель и знаменатель на \( x \):

\[ y = \frac{1}{x + \frac{1}{x}} \]

2. Теперь применим правило дифференцирования частного. Пусть \( u = 1 \) и \( v = x + \frac{1}{x} \), тогда:

\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

3. Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

- \( u' = 0 \) (производная константы), - \( v' = 1 - \frac{1}{x^2} \) (производная \( x \) и \( \frac{1}{x} \)).

4. Подставим значения в формулу для производной:

\[ y' = \frac{0 \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right) - 1 \cdot 1 + \frac{1}{x^2}}{\left(x + \frac{1}{x}\right)^2} \]

Упростим выражение:

\[ y' = -\frac{1}{\left(x + \frac{1}{x}\right)^2} + \frac{1}{x^2\left(x + \frac{1}{x}\right)^2} \]

Мы получили производную функции \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) по переменной \( x \):

\[ y' = -\frac{1}{\left(x + \frac{1}{x}\right)^2} + \frac{1}{x^2\left(x + \frac{1}{x}\right)^2} \]