Question

Помогите с логарифмическим неравенством.

Answer 1

 

$(\frac{1}{2})^{log_2(x^2-1)}>1, \\ (\frac{1}{2})^{log_2(x^2-1)}>(\frac{1}{2})^0, \\ \frac{1}{2}<1, \\ log_2(x^2-1)<0, \\ x^2-1>0, \ (x-1)(x+1)>0, \ x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\\ 2>1, \\ x^2-1<2^0, \\ x^2-1<1, \\ x^2-2<0, \\ (x-\sqrt2)(x+\sqrt2)<0, \\ <x$

$-\sqrt2 < x < \sqrt2, \\ x\in(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2)$

Answer 2

Логарифмическое неравенство представляет собой неравенство, в котором одна или обе стороны содержат логарифмы.

Для решения логарифмического неравенства, мы будем использовать следующие свойства логарифмов:

1. Свойство монотонности: Если a > b, то log(a) > log(b) для любого положительного основания логарифма. 2. Свойство степени: log(a^b) = b * log(a). 3. Свойство произведения: log(a * b) = log(a) + log(b). 4. Свойство частного: log(a / b) = log(a) - log(b).

Давайте рассмотрим пример логарифмического неравенства и решим его:

Пример: Решить неравенство log(x + 2) > log(x - 1).

1. Используем свойство монотонности: log(x + 2) > log(x - 1). 2. Используем свойство частного: log((x + 2)/(x - 1)) > 0. 3. Используем свойство эквивалентности: (x + 2)/(x - 1) > 1. 4. Умножаем обе части неравенства на (x - 1): (x + 2) > (x - 1). 5. Раскрываем скобки: x + 2 > x - 1. 6. Отнимаем x от обеих частей неравенства: 2 > -1.

Таким образом, получаем, что неравенство выполняется для любого значения x.

Важно отметить, что при решении логарифмического неравенства необходимо проверять полученные решения на допустимость в исходном неравенстве. Например, если в исходном неравенстве присутствует логарифм с отрицательным аргументом, то такое значение x будет недопустимым.

Надеюсь, это поможет вам понять, как решать логарифмические неравенства. Если у вас есть конкретный вопрос или другой пример, пожалуйста, уточните, и я буду рад помочь вам.