Question

Найти производную sinx *cosx+ 2x^2 *lnx -1/X^4

Answer 1

$\left( \sin x \cdot \cos x+ 2x^2 \cdot \ln x -\frac{1}{x^4}\right)' = \\ \left( \sin x \cdot \cos x\right)'+ \left( 2x^2 \cdot \ln x \right)' -\left( \frac{1}{x^4}\right)' = \\ ( \sin x)'\cos x + \sin x (\cos x)'+ ( 2x^2)' \ln x + 2x^2 \cdot (\ln x) ' -\left( \frac{1}{x^4}\right)' = \\ \cos^2 x - \sin^2 x + 4x \ln x + 2x^2 \cdot \frac1x + \frac{4}{x^5} = \\ \cos^2 x - \sin^2 x + 4x \ln x + 2x + \frac{4}{x^5}.$

Answer 2

Конечно, я могу помочь с этим. Чтобы найти производную функции \( y = \sin(x) \cdot \cos(x) + 2x^2 \cdot \ln(x) - \frac{1}{x^4} \), нам понадобится использовать правила дифференцирования для каждого члена функции.

Нахождение производной по частям

Для начала, мы можем использовать формулу производной произведения функций \( (uv)' = u'v + uv' \) для первого члена \( \sin(x) \cdot \cos(x) \).

1. Производная \( \sin(x) \cdot \cos(x) \): - Производная синуса \( \sin(x) \) равна \( \cos(x) \) (по правилу дифференцирования синуса). - Производная косинуса \( \cos(x) \) равна \( -\sin(x) \) (по правилу дифференцирования косинуса). - Следовательно, производная \( \sin(x) \cdot \cos(x) \) равна \( \cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot (-\sin(x)) = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \) (по тригонометрическому тождеству \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)).

Производная \(2x^2 \cdot \ln(x)\)

2. Производная \(2x^2 \cdot \ln(x)\): - Производная \(2x^2\) равна \(4x\) (по правилу дифференцирования степенной функции). - Для нахождения производной \( \ln(x) \), мы можем воспользоваться правилом дифференцирования для логарифмической функции, которое гласит: \( \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x} \). - Таким образом, производная \(2x^2 \cdot \ln(x)\) равна \(4x \cdot \ln(x) + 2x^2 \cdot \frac{1}{x} = 4x \cdot \ln(x) + 2x\).

Производная \(-\frac{1}{x^4}\)

3. Производная \(-\frac{1}{x^4}\): - Производная \( -\frac{1}{x^4} \) равна \( \frac{4}{x^5} \) (по правилу дифференцирования степенной функции).

Итоговая производная

Теперь, когда мы нашли производные каждого члена функции, мы можем сложить их, чтобы получить итоговую производную функции \( y \): \[ y' = 1 + 4x \cdot \ln(x) + 2x - \frac{4}{x^5} \]

Таким образом, итоговая производная функции \( y = \sin(x) \cdot \cos(x) + 2x^2 \cdot \ln(x) - \frac{1}{x^4} \) равна \( y' = 1 + 4x \cdot \ln(x) + 2x - \frac{4}{x^5} \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или если что-то неясно, пожалуйста, дайте мне знать!