Question

Среди решений (x:y) системы. Найти xy вот система: x-y=1 x(в кубе) - y(в кубе)=7

Answer 1

$\left \{ {{x-y=1} \atop {x^3-y^3=7}} \right. \to \left \{ {{x-y=1} \atop {(x-y)(x^2+xy+y^2)=7}} \right. \to \left \{ {{x-y=1} \atop {x^2+xy+y^2=7}} \right.$
Из уравнения 1 выразим переменную х
$\left \{ {{x=1+y} \atop {x^2+xy+y^2=7}} \right.$
Подставив получаем
$(y+1)^2+(y+1)y+y^2-7=0 \\ y^2+2y+1+y^2+y+y^2-7=0 \\ 3y^2+3y-6=0|:3 \\ y^2+y-2=0$
По т. Виета
$y_1=-2 \\ y_2=1 \\ \\ x_1=-1 \\ x_2=2$

По условию  xy
$x_1\cdot y_1=(-1)\cdot (-2)=2 \\ x_2\cdot y_2=2\cdot 1=2$

Answer 2

Для решения данной системы уравнений можно использовать метод подстановки или метод исключения. Давайте рассмотрим оба подхода.

Метод подстановки

1. Решим первое уравнение системы x - y = 1 относительно x: x = y + 1

2. Подставим найденное значение x во второе уравнение системы: (y + 1)^3 - y^3 = 7

3. Раскроем скобки и упростим уравнение: y^3 + 3y^2 + 3y + 1 - y^3 = 7 3y^2 + 3y + 1 = 7

4. Перенесем все члены уравнения влево: 3y^2 + 3y - 6 = 0

5. Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта или методом факторизации. Поскольку данное уравнение факторизуется, решим его таким образом: 3(y - 1)(y + 2) = 0

6. Найдем значения y, при которых уравнение равно нулю: y - 1 = 0 => y = 1 y + 2 = 0 => y = -2

7. Подставим найденные значения y в первое уравнение x - y = 1, чтобы найти соответствующие значения x: При y = 1: x - 1 = 1 => x = 2 При y = -2: x - (-2) = 1 => x = -1

Таким образом, получаем два решения системы: (x, y) = (2, 1) и (x, y) = (-1, -2).

Метод исключения

1. Умножим первое уравнение системы на x^2 и второе уравнение на y^2: x^3 - xy^2 = 7x^2 x^3 - y^3 = 7y^2

2. Вычтем второе уравнение из первого: xy^2 - y^3 = 7x^2 - 7y^2

3. Факторизуем обе части уравнения: y^2(x - y) = 7(x^2 - y^2)

4. Используем разность квадратов для факторизации правой части: y^2(x - y) = 7(x + y)(x - y)

5. Разделим обе части уравнения на (x - y): y^2 = 7(x + y)

6. Подставим значение x - y из первого уравнения системы: y^2 = 7(x + y) = 7(1 + 2y)

7. Раскроем скобки и упростим уравнение: y^2 = 7 + 14y

8. Перенесем все члены уравнения влево: y^2 - 14y - 7 = 0

9. Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта или методом факторизации. Поскольку данное уравнение факторизуется, решим его таким образом: (y + 1)(y - 15) = 0

10. Найдем значения y, при которых уравнение равно нулю: y + 1 = 0 => y = -1 y - 15 = 0 => y = 15

11. Подставим найденные значения y в первое уравнение x - y = 1, чтобы найти соответствующие значения x: При y = -1: x - (-1) = 1 => x = 2 При y = 15: x - 15 = 1 => x = 16

Таким образом, получаем два решения системы: (x, y) = (2, -1) и (x, y) = (16, 15).

Надеюсь, эта подробная информация поможет вам решить данную систему уравнений. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.