Question

Решите неравенство: (x-6)^2<√10(x-6)

Answer 1

$(x-6)^2\ \textless \ \sqrt{10} (x-6)\\ (x-6)^2- \sqrt{10}(x-6)\ \textless \ 0\\ (x-6)(x-6- \sqrt{10})\ \textless \ 0\\ \\ (x-6)(x-6- \sqrt{10})=0\\ x_1=6\\ x_2=6+ \sqrt{10}$

___+___(6)___-__(6+√10)___+___

Ответ: $x \in (6;6+ \sqrt{10})$

Answer 2

Давайте решим неравенство поэтапно:

1. Раскроем квадрат в левой части неравенства: (x - 6)^2 < √10(x - 6)

Это приведет к следующему: x^2 - 12x + 36 < √10x - 6√10

2. Перенесем все члены в левую часть неравенства: x^2 - 12x + 36 - √10x + 6√10 < 0

3. Объединим подобные члены: x^2 - (12 + √10)x + (36 + 6√10) < 0

4. Изучим дискриминант квадратного трехчлена: D = (12 + √10)^2 - 4(36 + 6√10)

После вычислений получим: D ≈ 10.33

5. Рассмотрим три случая, исходя из значения дискриминанта:

Случай 1: D > 0

Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных вещественных корня. В этом случае, мы можем использовать метод интервалов для решения неравенства.

Случай 2: D = 0

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один вещественный корень кратности два. Однако, в данном неравенстве, мы имеем строгое неравенство (<), поэтому этот случай не подходит.

Случай 3: D < 0

Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет вещественных корней. В этом случае, мы можем выбрать точку на числовой оси для проверки знака трехчлена.

6. Возьмем точку между двумя корнями уравнения (случай 1) или любую точку слева или справа от корней (случай 3), и проверим знак трехчлена x^2 - (12 + √10)x + (36 + 6√10).

Например, возьмем x = 0: (0)^2 - (12 + √10)(0) + (36 + 6√10) < 0

После вычислений получим: 36 + 6√10 < 0

Однако, это неравенство неверно, так как левая сторона больше нуля. Значит, точка x = 0 не удовлетворяет исходному неравенству.

7. По результатам проверки, мы можем сделать вывод, что исходное неравенство не имеет решений.