Question

Найти производную у=arcsinx/√1-x²

Answer 1

= (производная arcsin x * (√1-x²)- arcsin x  * производную (√1-x²))  / ( √1-x²)²= ((1/ √1-x² ) * ( √1-x²) -  arcsin x *  ((1/2√1-x² ) * производную (1-x²))) / (1-x²) =( 1- arcsin x * ((1/2√1-x² ) * (-2x))) / (1-x²) = ( 1- arcsin x * (- x/ √1-x²)) / (1-x²)=(1+ (x*  arcsin x / √1-x²)) / (1-x²)=  ( (√1-x² + x*  arcsin x)/√1-x²) / (1-x²)= (√1-x² + x*  arcsin x)/(1-x²)* (√1-x²)

Answer 2

Для нахождения производной функции у = arcsin(x)/√(1-x²) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

1. Найдем производную arcsin(x):

dy/dx = 1/√(1-x²)

2. Найдем производную √(1-x²):

d(√(1-x²))/dx = (-1/2)*(1-x²)^(-1/2)*(-2x) = x/(√(1-x²))

3. Теперь найдем производную функции у = arcsin(x)/√(1-x²) с использованием правила производной частного:

dy/dx = (d(arcsin(x))/dx * √(1-x²) - arcsin(x) * d(√(1-x²))/dx)/(√(1-x²))²

dy/dx = (1/√(1-x²) * √(1-x²) - arcsin(x) * x/(√(1-x²)))/(√(1-x²))²

dy/dx = (1 - arcsin(x) * x/(√(1-x²)))/(√(1-x²))²

dy/dx = (1 - x * arcsin(x)/(1-x²))/(1-x²)

Таким образом, производная функции у = arcsin(x)/√(1-x²) равна (1 - x * arcsin(x)/(1-x²))/(1-x²).