Question

Если в геометрической прогрессии третий член положителен, четвертый член равен -4, а сумма третьего и шестого членов равна -14, то сумма первого члена и знаменателя прогрессии

Answer 1

b₄ = -4
b₃ + b₆ = -14

b₄ = b₁*q³
b₃ = b₁*q²
b₆ = b₁*q⁵

b₁*q³ = -4
b₁*q² + b₁*q⁵ = -14

b₁ = $- \frac{4}{ q^{3} }$
$- \frac{4* q^{2} }{ q^{3} } - \frac{4* q^{5} }{ q^{3} } = -14$
$- \frac{4}{q}-4 q^{2} = -14$
-4 - 4q³ = -14q
-4q³ + 14q - 4 = 0
4q³ - 14q + 4 = 0
2q³ - 7q + 2 = 0
q = -2
b₁ = $\frac{4}{ 2^{3} }= \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
b₁ + q = $\frac{1}{2}-2 = -1 \frac{1}{2}$
Ответ: $-1 \frac{1}{2}$

Answer 2

Вот решение..............................

Answer 3

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель равен q.

Тогда третий член будет равен а*q^2, так как каждый последующий член геометрической прогрессии получается умножением предыдущего члена на знаменатель.

Из условия задачи известно, что третий член положителен, то есть а*q^2 > 0.

Четвертый член равен а*q^3, и по условию он равен -4. То есть а*q^3 = -4.

Также из условия известно, что сумма третьего и шестого членов равна -14. То есть а*q^2 + а*q^5 = -14.

Теперь решим систему уравнений:

1) а*q^2 > 0 2) а*q^3 = -4 3) а*q^2 + а*q^5 = -14

Из уравнения (2) можно выразить а через q: а = -4/q^3.

Подставим это значение а в уравнение (3):

(-4/q^3)*q^2 + (-4/q^3)*q^5 = -14

-4/q + (-4/q^3)*q^3 = -14

-4/q - 4 = -14

-4/q = -10

q = -4/(-10) = 2/5

Теперь найдем а:

а = -4/(2/5)^3 = -4/(8/125) = -4 * (125/8) = -50.

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен -50, а знаменатель равен 2/5.

Сумма первого члена и знаменателя прогрессии будет равна: -50 + 2/5 = (-250/5) + (2/5) = -248/5.

Answer 4

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель равен q.

Третий член геометрической прогрессии равен а*q^2, так как каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель.

Четвертый член геометрической прогрессии равен а*q^3.

Из условия задачи известно, что третий член положителен, поэтому а*q^2 > 0. Также известно, что четвертый член равен -4, то есть а*q^3 = -4.

Сумма третьего и шестого членов геометрической прогрессии равна -14:

а*q^2 + а*q^5 = -14.

Теперь решим систему уравнений:

а*q^2 > 0, а*q^3 = -4, а*q^2 + а*q^5 = -14.

Разделим второе уравнение на первое:

q^3 = -4 / (a*q^2).

Подставим это выражение в третье уравнение:

а*q^2 + а*(-4 / (a*q^2))^2 = -14.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

а*q^2 + а*(16 / (a^2*q^4)) = -14.

Упростим выражение:

а*q^2 + 16 / (a*q^2) = -14.

Умножим все слагаемые на a*q^2, чтобы избавиться от знаменателей:

а^2*q^4 + 16 = -14*a*q^2.

Полученное уравнение является квадратным относительно переменной a*q^2:

а^2*q^4 + 14*a*q^2 + 16 = 0.

Решим это квадратное уравнение относительно a*q^2 с помощью дискриминанта:

D = (14)^2 - 4*1*16 = 196 - 64 = 132.

Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня:

a*q^2 = (-14 ± √132) / 2 = (-14 ± 2√33) / 2 = -7 ± √33.

Теперь найдем значения a и q.

Если a*q^2 = -7 + √33, то из второго уравнения в системе:

a*q^3 = -4, (-7 + √33)*q^3 = -4, q^3 = -4 / (-7 + √33), q = ∛(-4 / (-7 + √33)).

Если a*q^2 = -7 - √33, то из второго уравнения в системе:

a*q^3 = -4, (-7 - √33)*q^3 = -4, q^3 = -4 / (-7 - √33), q = ∛(-4 / (-7 - √33)).

Таким образом, найденными значениями a и q можно найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии.