Question

Доказать тождество:sin^2 alfa +cos2 alfa1+cos2 alfa=2 cos^2 alfa

Answer 1

альфа=х 

1+cos2x=2cos^2x

1+2cos^2-1=2cos^2x  (применяем формулу косинуса двойного аргумента.)

2cos^x=2cos^2x  ч.т.д

Answer 2

Для доказательства данного тождества, нам понадобится использовать тригонометрические тождества и свойства функций синуса и косинуса.

Используемые тригонометрические тождества:

1. Тождество суммы двух углов: sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) 2. Тождество разности двух углов: sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) 3. Тождество суммы двух углов: cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) 4. Тождество разности двух углов: cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) 5. Тождество синуса квадрата: sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2 6. Тождество косинуса квадрата: cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

Доказательство:

Дано тождество: sin^2(alfa) + cos(2*alfa) + cos(2*alfa + 1) + cos^2(alfa) = 2 + cos^2(alfa)

Используя тождество синуса квадрата (5) и тождество косинуса квадрата (6), мы можем переписать левую часть выражения следующим образом:

sin^2(alfa) + cos(2*alfa) + cos(2*alfa + 1) + cos^2(alfa) = (1 - cos(2*alfa)) / 2 + cos(2*alfa) + cos(2*alfa + 1) + (1 + cos(2*alfa)) / 2

Упростим это выражение:

(1 - cos(2*alfa)) / 2 + cos(2*alfa) + cos(2*alfa + 1) + (1 + cos(2*alfa)) / 2 = 1/2 - cos(2*alfa)/2 + cos(2*alfa) + cos(2*alfa + 1) + 1/2 + cos(2*alfa)/2

Сокращаем подобные слагаемые:

1/2 - cos(2*alfa)/2 + cos(2*alfa) + cos(2*alfa + 1) + 1/2 + cos(2*alfa)/2 = 1 + cos(2*alfa) + cos(2*alfa + 1)

Теперь рассмотрим правую часть тождества:

2 + cos^2(alfa) = 2 + (1 + cos(2*alfa)) / 2

Упростим это выражение:

2 + (1 + cos(2*alfa)) / 2 = 2 + 1/2 + cos(2*alfa)/2 = 5/2 + cos(2*alfa)/2

Теперь сравним левую и правую части тождества:

1 + cos(2*alfa) + cos(2*alfa + 1) = 5/2 + cos(2*alfa)/2

Для доказательства тождества, нам нужно показать, что левая часть равна правой части для любых значений альфа.

Подставим значения альфа в левую и правую части и проверим, что они равны.

Для упрощения вычислений, предположим, что альфа - это угол в радианах.

Например, пусть альфа = 0