Question

не выполняя построения графика функции у=7х^2-4х, найдите ее наибольшее и наименьшее значение

Answer 1

1 способ
у=7х²-4х - графиком функции является параболой - ветви направлены вверх.
Следовательно наибольшего значения функции нет поскольку у →+∞.

Наименьшее значение функция будет достигать в вершине параболы:
х₀=-b/2a=4/14=2/7
y₀=7*(2/7)²-4*2/7=4/7-8/7=-4/7 - наименьшее значение

2 способ
Через производную.
y'=(7x²-4x)'=14x-4
14x-4=0
x=2/7
      +                          -
_________2/7________

Значит от (-∞; 2/7) функция убывает, следовательно х=2/7 точка минимума
у=7*(2/7)²-4*2/7=-4/7 

Ответ у=-4/7

Answer 2

Для поиска наибольшего и наименьшего значения функции без построения графика, можно использовать методы анализа функций. В данном случае, у нас есть функция u = 7x^2 - 4x. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение этой функции, мы можем использовать процедуру определения экстремумов.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции:

1. Найдем критические точки функции, то есть значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. 2. Определим, являются ли найденные критические точки максимумами или минимумами функции, используя вторую производную. 3. Проверим значения функции на концах заданного интервала, если таковой есть.

Давайте последовательно выполним эти шаги:

1. Найдем производную функции u по x. В данном случае, производная функции будет равна: u' = 14x - 4.

2. Решим уравнение u' = 0, чтобы найти критические точки функции: 14x - 4 = 0 14x = 4 x = 4/14 x = 2/7

3. Чтобы определить является ли найденная критическая точка максимумом или минимумом, найдем вторую производную функции u. В данном случае, вторая производная будет равна: u'' = 14.

Так как вторая производная положительная (u'' > 0), это означает, что критическая точка является точкой минимума функции.

4. Теперь проверим значения функции на концах заданного интервала. В данном случае, нет заданного интервала, поэтому мы не можем использовать этот шаг.

Результаты:

Таким образом, мы нашли, что наибольшее и наименьшее значение функции u = 7x^2 - 4x равно минимуму функции в точке x = 2/7.

Если вы хотите найти значение функции в этой точке, подставьте x = 2/7 в исходную функцию:

u(2/7) = 7(2/7)^2 - 4(2/7) u(2/7) = 4/7 - 8/7 u(2/7) = -4/7

Таким образом, наименьшее значение функции u = 7x^2 - 4x равно -4/7.