Question

исследовать на выпуклость и точки перегиба y=x^4-2x ^2+5 ^-степень

Answer 1

y = x^4 - 2x^2 + 5

y'' = 12x^2 - 4

y''=0  при $x = +/-\frac{1}{\sqrt{3}}$ 

      +               -                  +

-----------.---------------.------------------> 

          -1/sqrt(3)        1/sqrt(3)             x

При х $(-\infty;-\frac{1}{\sqrt{3}})\cup(\frac{1}{\sqrt{3}};+\infty)$ график функции имеет выпуклость вниз.

при x $(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}})$ график функции имеет выпуклость вверх

Answer 2

Для исследования на выпуклость и точки перегиба функции y = x^4 - 2x^2 + 5, мы должны проанализировать ее вторую производную и найти ее нули.

1. Возьмем первую производную функции y по x: y' = 4x^3 - 4x

2. Найдем вторую производную, взяв производную от первой производной: y'' = 12x^2 - 4

3. Чтобы найти точки перегиба, приравняем вторую производную нулю и решим уравнение: 12x^2 - 4 = 0 12x^2 = 4 x^2 = 4/12 x^2 = 1/3 x = ±√(1/3) x = ±(1/√3)

Таким образом, точки перегиба функции находятся при x = 1/√3 и x = -1/√3.

4. Теперь проанализируем знак второй производной в интервалах между точками перегиба и за пределами этих точек.

a) Проверим интервал (-∞, -1/√3): Для x < -1/√3, вторая производная y'' = 12x^2 - 4 будет отрицательной, так как x^2 будет положительным, а 4 отнимает от него. Значит, на этом интервале функция будет выпуклой.

b) Проверим интервал (-1/√3, 1/√3): Для -1/√3 < x < 1/√3, вторая производная y'' = 12x^2 - 4 будет положительной, так как x^2 будет положительным, а 4 отнимает от него. Значит, на этом интервале функция будет вогнутой.

c) Проверим интервал (1/√3, +∞): Для x > 1/√3, вторая производная y'' = 12x^2 - 4 будет отрицательной, так как x^2 будет положительным, а 4 отнимает от него. Значит, на этом интервале функция будет выпуклой.

5. Таким образом, мы можем сделать выводы: - Функция y = x^4 - 2x^2 + 5 имеет точки перегиба при x = 1/√3 и x = -1/√3. - Функция выпукла в интервалах (-∞, -1/√3) и (1/√3, +∞). - Функция вогнута в интервале (-1/√3, 1/√3).