Question

Найти производную функции.

Answer 1

Поначалу, найдем производную каждой функции в произведении:

$\displaystyle (\cos 11x)'= -\sin 11x \cdot 11=-11\sin 11x\\\\(3^{7x})'= (3^{7x}\ln 3) \cdot7\\\\(11+3x^2)'=6x\\\\(3^{7x}(11+3x^2))'=7(3^{7x}\ln 3) (11+3x^2)+6x\cdot 3x^{7x}$

Откуда получаем:

$y'= -11\sin 11x\cdot (3^{7x}(11+3x^2))+(\cos 11x)(7(3^{7x}\ln 3) (11+3x^2)+\\\\+6x\cdot 3x^{7x})$

Answer 2

Чтобы найти производную функции, мы должны использовать правила дифференцирования.

Правила дифференцирования:

1. Правило степенной функции: Если у нас есть функция вида f(x) = x^n, где n - любое рациональное число, то производная этой функции будет f'(x) = n*x^(n-1). Например, если у нас есть функция f(x) = x^2, то ее производная будет f'(x) = 2*x^(2-1) = 2*x.

2. Правило произведения: Если у нас есть функция вида f(x) = u(x)*v(x), где u(x) и v(x) - две функции, то производная этой функции будет f'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x). Например, если у нас есть функция f(x) = x^2*sin(x), то ее производная будет f'(x) = 2*x*sin(x) + x^2*cos(x).

3. Правило суммы: Если у нас есть функция вида f(x) = u(x) + v(x), где u(x) и v(x) - две функции, то производная этой функции будет f'(x) = u'(x) + v'(x). Например, если у нас есть функция f(x) = x^2 + sin(x), то ее производная будет f'(x) = 2*x + cos(x).

4. Правило деления: Если у нас есть функция вида f(x) = u(x) / v(x), где u(x) и v(x) - две функции, то производная этой функции будет f'(x) = (u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)) / v^2(x). Например, если у нас есть функция f(x) = x^2 / sin(x), то ее производная будет f'(x) = (2*x*sin(x) - x^2*cos(x)) / sin^2(x).

Это основные правила дифференцирования, которые позволяют найти производную функции. Однако, существуют и другие правила, которые могут применяться в зависимости от типа функции, например, правило цепной дифференциации, правило дифференцирования обратной функции и другие.