Question

1)На основании того, что число корень из 2 является корнем уравнения x^2-2=0. докажите, что корень из 2 - иррациональное число

Answer 1

Рациональные корни находятся среди чисел вида a/b, где число а - делитель свободного члена, т.е. -2, а число b - делитель коэффициента при старшем члене (при наибольшей степени переменной, в нашем случае при x^2) т.е. 1

Делители 1 это 1 и -1
Делители 2 это 1,-1,2,-2
Поэтому возможные рациональные корни
-1,1,2,-2

Подставив их в уравнение легко убедится что рациональных корней у данного уравнения нет. Так как нам известно, что корень из 2 явлеется корнем, то следовательно корень из 2 - иррациональное число. Доказано

Answer 2

$x^2-2=0\\x^2=2\\x=\pm\sqrt{2}$
Так как, корнем уравнения является число, которого не является целым числом, ввиду того что нету такого рационального числа, квадрат которого равен двум, получаем, что $\sqrt{2}$ есть число иррациональное

Answer 3

Доказательство того, что корень из 2 является иррациональным числом, можно провести методом от противного. Предположим, что корень из 2 является рациональным числом и может быть представлен в виде дроби p/q, где p и q являются целыми числами, а q не равно нулю и не имеет общих делителей с числом p.

Предположение: $\sqrt{2}$ является рациональным числом

Предположим, что $\sqrt{2}$ является рациональным числом и может быть представлено в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ являются целыми числами, а $q$ не равно нулю и не имеет общих делителей с числом $p$.

Равенство: $\left(\frac{p}{q}\right)^2 = 2$

Поскольку $\left(\frac{p}{q}\right)^2 = \frac{p^2}{q^2}$, мы можем записать уравнение в виде $\frac{p^2}{q^2} = 2$.

Преобразование: $p^2 = 2q^2$

Умножая обе части уравнения на $q^2$, мы получаем $p^2 = 2q^2$.

Вывод: p - четное число

Поскольку $p^2$ делится на 2, $p$ также должно быть четным числом. Предположим, что $p$ может быть представлено в виде $p = 2k$, где $k$ является целым числом.

Преобразование: $(2k)^2 = 2q^2$

Подставляя $p = 2k$ в уравнение $p^2 = 2q^2$, мы получаем $(2k)^2 = 2q^2$, что эквивалентно $4k^2 = 2q^2$.

Преобразование: $2k^2 = q^2$

Разделив обе части уравнения на 2, мы получаем $2k^2 = q^2$.

Вывод: q - четное число

По аналогии с предыдущим выводом, $q$ также должно быть четным числом. Предположим, что $q$ может быть представлено в виде $q = 2m$, где $m$ является целым числом.

Преобразование: $2k^2 = (2m)^2$

Подставляя $q = 2m$ в уравнение $2k^2 = q^2$, мы получаем $2k^2 = (2m)^2$, что эквивал