Question

cos^2 x/4 вычислите интеграл, преобразуя подынтегральные функции (b= П/2 a = п/2)

Answer 1

cos^2x/4=(1+cosx/2)/2

x/2+sinx/2

П/4+sin(П/2)/2=П/4+1/2

ответ (П/2+1)

Answer 2

Для начала, давайте посмотрим на выражение cos^2(x)/4 и попробуем вычислить интеграл, преобразуя подынтегральные функции.

Подынтегральные функции

Интегрирование функции cos^2(x)/4 может быть удобно провести, используя тригонометрические тождества.

Мы можем воспользоваться тождеством cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2, чтобы преобразовать наше выражение. Таким образом, мы получаем:

cos^2(x)/4 = (1/4)*(1/2 + cos(2x)/2)

Теперь, давайте вычислим интеграл этой функции на интервале от a до b, где a = 0 и b = π/2.

Вычисление интеграла

Интеграл от функции f(x) на интервале [a, b] вычисляется следующим образом:

∫[a, b] f(x) dx

Подставляя наше выражение для cos^2(x)/4, мы получаем:

∫[0, π/2] (1/4)*(1/2 + cos(2x)/2) dx

Теперь можем произвести вычисления для каждого слагаемого по отдельности.

Интеграл от (1/4)*(1/2) dx равен (1/4)*(1/2)*x = x/8, который вычисляется на интервале [0, π/2] как (π/2)/8 = π/16.

Интеграл от (1/4)*(cos(2x)/2) dx требует замены переменной. Пусть t = 2x, тогда dt = 2 dx, и dx = (1/2) dt. Теперь интеграл преобразуется к виду:

(1/8)∫[0, π] cos(t) dt

Интеграл от cos(t) равен sin(t), поэтому окончательно получаем:

(1/8)*[sin(t)] [0, π] = (1/8)*(sin(π) - sin(0)) = (1/8)*(0 - 0) = 0.

Ответ

Таким образом, интеграл от cos^2(x)/4 на интервале от 0 до π/2 равен π/16 + 0 = π/16.