Question

В арифметической прогрессии а3 + а5 + а7 = 60, а5ха6 = 300. Найдите сумму первых пятнадцати членов этой прогрессии.

Answer 1

$a_{3}+a_{5}+a_{7}=60\\ a_{5}*a_{6}=300\\\\ 3a_{1}+12d=60\\ a_{1}+4d=20\\ a_{5}=20\\ a_{6}=\frac{300}{20}=15\\\\ d=a_{6}-a_{5}=15-20=-5\\\\ a_{1}+4d=20\\ a_{1}=20-4*-5=40\\\\ S_{15}=\frac{2*40-5*14}{2}*15=75$

Answer 2

Дано, что a3 + a5 + a7 = 60 и a5 * a6 = 300.

Найдем разность прогрессии d: a5 = a3 + 2d a6 = a3 + 3d

Подставим эти значения во второе уравнение: (a3 + 2d) * (a3 + 3d) = 300 a3^2 + 5da3 + 6d^2 = 300

Теперь подставим значения a3, a5 и a7 из первого уравнения: (a3 + 2d) + (a3 + 4d) + (a3 + 6d) = 60 3a3 + 12d = 60 a3 + 4d = 20

Теперь решим систему уравнений: a3^2 + 5da3 + 6d^2 = 300 a3 + 4d = 20

Можно решить систему методом подстановки или методом исключения переменных. Я выберу метод подстановки.

Из второго уравнения выразим a3 через d: a3 = 20 - 4d

Подставим это значение в первое уравнение: (20 - 4d)^2 + 5d(20 - 4d) + 6d^2 = 300 400 - 160d + 16d^2 + 100d - 20d^2 + 6d^2 = 300 -14d^2 - 60d + 100 = 0 7d^2 + 30d - 50 = 0

Решим это квадратное уравнение: d = (-30 ± √(30^2 - 4*7*(-50))) / (2*7) d = (-30 ± √(900 + 1400)) / 14 d = (-30 ± √2300) / 14 d = (-30 ± 47.98) / 14

Из этих двух значений выберем только положительное, так как разность прогрессии не может быть отрицательной: d = (-30 + 47.98) / 14 d = 1.28

Теперь найдем первый член прогрессии a1: a1 = a3 - 2d a1 = 20 - 4*1.28 a1 = 14.88

Теперь можем найти сумму первых пятнадцати членов прогрессии с помощью формулы: Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d), где n - количество членов прогрессии.

Заменим в формуле известные значения: S15 = (15/2)(2*14.88 + (15-1)*1.28) S15 = 7.5(29.76 + 14*1.28) S15 = 7.5(29.76 + 17.92) S15 = 7.5 * 47.68 S15 = 357.6

Сумма первых пятнадцати членов этой прогрессии равна 357.6.