Question

доказать что (x+y)^2(x+y+1)^2 делится на 4 при любых целых x и yСРОЧНО, ПОМОГИТЕ!

Answer 1

аксиома четное число в квадрате - делится на 4

четное число -это 2*а ;  (2а)^2=4a^2  делится на 4

1

если x-четное ; y-нечетное

то (x+y)^2 -нечетное  ; (x+y+1)^2 -четное

делится на 4

2

если x-нечетное ; y-четное

то (x+y)^2 -нечетное  ; (x+y+1)^2 -четное

делится на 4

3

если x-четное ; y-четное

то (x+y)^2 -четное  ; (x+y+1)^2 -нечетное

делится на 4

4

если x-нечетное ; y-нечетное

то (x+y)^2 -четное  ; (x+y+1)^2 -нечетное

делится на 4

ДОКАЗАНО

Answer 2

Для доказательства того, что выражение (x+y)^2(x+y+1)^2 делится на 4 при любых целых значениях x и y, мы можем использовать метод математической индукции.

Базовый шаг:

Для начала, проверим, выполняется ли это утверждение при некоторых конкретных значениях x и y. Давайте возьмем x = 0 и y = 0:

(0+0)^2(0+0+1)^2 = 0^2 * 1^2 = 0 * 1 = 0

Как мы видим, результат равен 0, что является кратным 4. Таким образом, базовый шаг выполнен.

Предположение индукции:

Предположим, что утверждение верно для некоторых целых значений x и y, то есть выражение (x+y)^2(x+y+1)^2 делится на 4.

Индукционный шаг:

Теперь докажем, что если утверждение верно для x и y, то оно также верно для x+1 и y+1.

Раскроем выражение (x+1+y+1)^2(x+1+y+1+1)^2:

(x+1+y+1)^2(x+1+y+1+1)^2 = (x+y+2)^2(x+y+2+1)^2

Раскроем скобки:

(x+y+2)^2(x+y+3)^2 = (x+y)^2 + 2(x+y) + 2(x+y) + 4)(x+y+3)^2

Упростим:

(x+y)^2 + 4(x+y) + 4)(x+y+3)^2

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: (x+y) делится на 2:

Если (x+y) делится на 2, то мы можем представить (x+y) в виде (x+y) = 2k, где k - целое число. В этом случае, выражение будет:

(2k)^2 + 4(2k) + 4)(x+y+3)^2 = 4k^2 + 8k + 4(x+y+3)^2

Мы видим, что первое слагаемое 4k^2 делится на 4, а второе слагаемое 8k делится на 4. Также, выражение (x+y+3)^2 делится на 4, так как оно является квадратом целого числа. Следовательно, всё выражение делится на 4.

Случай 2: (x+y) не делится на 2:

Если (x+y) не делится на 2, то мы можем представить (x+y) в виде (x+y) = 2k + 1, где k - целое число. В этом случае, выражение будет:

(2k+1)^2 + 4(2k+1) + 4)(x+y+3)^2 = 4k^2 + 12k + 9 + 4(x+y+3)^2

Мы видим, что первое слагаемое 4k^2 делится на 4, а второе слагаемое 12k не делится на 4. Однако, выражение (x+y+3)^2 делится на 4, так как оно является квадратом целого числа. Следовательно, всё выражение делится на 4.

Таким образом, мы доказали, что выражение (x+y)^2(x+y+1)^2 делится на 4 при любых целых значениях x и y.

Пожалуйста, обратите внимание, что данное доказательство было проведено с использованием метода математической индукции, и оно верно для всех целых значений x и y.