Question

Lim x->0 tg4x/tgx

Answer 1

=lim (tg4x/4x)*4x*(x/tgx)/x=4
(просто выделил 2 раза разновидность 1 зам.предела)

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой замены тригонометрической функции тангенса через синус и косинус:

tg(x) = sin(x) / cos(x)

Применим эту формулу к выражению tg(4x) / tg(x):

tg(4x) / tg(x) = (sin(4x) / cos(4x)) / (sin(x) / cos(x))

Далее, применим формулу деления дробей:

(sin(4x) / cos(4x)) / (sin(x) / cos(x)) = (sin(4x) * cos(x)) / (cos(4x) * sin(x))

Теперь, воспользуемся формулами сложения и разности тригонометрических функций:

sin(4x) * cos(x) = (2 * sin(2x) * cos(2x)) * cos(x) = 2 * sin(2x) * (cos^2(x) - sin^2(x))

cos(4x) * sin(x) = (cos^2(2x) - sin^2(2x)) * sin(x) = (cos^2(x) - sin^2(x))^2 - (2 * sin^2(x) * cos^2(x))

Подставим полученные выражения в исходное:

(2 * sin(2x) * (cos^2(x) - sin^2(x))) / ((cos^2(x) - sin^2(x))^2 - (2 * sin^2(x) * cos^2(x)))

Теперь, упростим полученное выражение:

2 * sin(2x) * (cos^2(x) - sin^2(x)) = 2 * sin(2x) * cos(2x) = sin(4x)

(cos^2(x) - sin^2(x))^2 - (2 * sin^2(x) * cos^2(x)) = cos^4(x) - 2 * cos^2(x) * sin^2(x) + sin^4(x) - 2 * sin^2(x) * cos^2(x) = cos^4(x) - 2 * cos^2(x) * sin^2(x) + sin^4(x) - 2 * sin^2(x) * (1 - sin^2(x)) = cos^4(x) - 2 * cos^2(x) * sin^2(x) + sin^4(x) - 2 * sin^2(x) + 2 * sin^4(x) = cos^4(x) - 2 * cos^2(x) * sin^2(x) + 3 * sin^4(x) - 2 * sin^2(x)

Подставим полученные упрощенные выражения в исходное:

sin(4x) / (cos^4(x) - 2 * cos^2(x) * sin^2(x) + 3 * sin^4(x) - 2 * sin^2(x))

Таким образом, ответ на задачу равен sin(4x) / (cos^4(x) - 2 * cos^2(x) * sin^2(x) + 3 * sin^4(x) - 2 * sin^2(x)).