Question

Найдите область определения функции y=3/√x2+4x-12

Answer 1

X^2 + 4x -12 > 0
x1 = 2
x2 = - 6  
D(y) = ( - ≈; - 6) (2; + ≈)

Answer 2

Для начала найдем область определения функции y=3/√(x^2+4x-12). Область определения функции - это множество всех значений x, для которых функция определена, то есть не содержит деления на ноль или извлечения корня из отрицательного числа.

Нахождение области определения

Для функции y=3/√(x^2+4x-12) выражение под знаком корня (x^2+4x-12) должно быть больше или равно нулю, так как корень из отрицательного числа не определен в действительных числах, и знаменатель не должен быть равен нулю, чтобы избежать деления на ноль.

Выполним анализ выражения под знаком корня: x^2+4x-12 ≥ 0

Это неравенство можно решить, используя методы алгебраического анализа, такие как метод дискриминантов или построение знаков. Решив неравенство, мы найдем множество всех значений x, для которых функция определена.

Решение неравенства

1. Начнем с нахождения корней квадратного уравнения x^2+4x-12=0. Для этого вычислим дискриминант D: D = b^2 - 4ac, где a=1, b=4, c=-12. D = 4^2 - 4*1*(-12) = 16 + 48 = 64. Дискриминант D положительный, следовательно, уравнение имеет два вещественных корня.

2. Найдем корни квадратного уравнения: x1,2 = (-b ± √D) / (2a) x1,2 = (-4 ± √64) / (2*1) x1 = (-4 + 8) / 2 = 4 / 2 = 2 x2 = (-4 - 8) / 2 = -12 / 2 = -6

3. Теперь построим знаки в интервалах (-бесконечность, -6), (-6, 2), (2, +бесконечность) и выберем значения x, при которых неравенство x^2+4x-12 ≥ 0 выполнено.

В интервале (-бесконечность, -6) выберем x = -7 (произвольное значение). Подставим x = -7 в x^2+4x-12: (-7)^2 + 4*(-7) - 12 = 49 - 28 - 12 = 9 ≥ 0.

В интервале (-6, 2) выберем x = 0 (произвольное значение). Подставим x = 0 в x^2+4x-12: 0^2 + 4*0 - 12 = -12 < 0.

В интервале (2, +бесконечность) выберем x = 3 (произвольное значение). Подставим x = 3 в x^2+4x-12: 3^2 + 4*3 - 12 = 9 + 12 - 12 = 9 ≥ 0.

Ответ

Таким образом, область определения функции y=3/√(x^2+4x-12) определяется неравенством x^2+4x-12 ≥ 0, и состоит из двух интервалов: (-бесконечность, -6] и [2, +бесконечность).