Question

найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке: f(x)=x-1/3x^3, [-2;0]

Answer 1

 f(x)=x-1/3x^3, [-2;0]

y=x(1-x^2/3)

f(-2)=-2(1-4/3)=2/3

f(0)=0
Ответ: наибольшее 2/3

наименьшее 0 

Answer 2

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x - \frac{1}{3}x^3 \) на данном промежутке \( [-2, 0] \), мы можем использовать процесс определения экстремумов функции.

Нахождение производной

Сначала найдем производную функции \( f(x) \). Производная функции позволяет нам найти точки экстремума, где функция достигает своих наибольших и наименьших значений.

Для функции \( f(x) = x - \frac{1}{3}x^3 \), найдем производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = 1 - x^2 \]

Нахождение критических точек

Далее, найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует. Для этой функции, критические точки будут являться решениями уравнения \( f'(x) = 0 \): \[ 1 - x^2 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

Определение экстремумов

Для определения, являются ли эти критические точки точками максимума или минимума, нам нужно проанализировать знак производной в окрестностях этих точек.

Проверка знаков производной

Мы можем использовать знаки производной \( f'(x) = 1 - x^2 \), чтобы определить поведение функции в окрестностях критических точек.

- Для \( x < -1 \), \( f'(x) > 0 \), значит, функция возрастает. - Для \( -1 < x < 1 \), \( f'(x) < 0 \), значит, функция убывает. - Для \( x > 1 \), \( f'(x) > 0 \), значит, функция снова возрастает.

Определение значений функции

Теперь, когда мы знаем, что функция возрастает до \( x = -1 \), убывает до \( x = 1 \) и снова возрастает после \( x = 1 \), мы можем найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке \( [-2, 0] \).

Нахождение значений функции

Для этого нам нужно вычислить значения функции \( f(x) \) в точках \( x = -2 \), \( x = -1 \) и \( x = 0 \), а затем сравнить их.

\[ f(-2) = -2 - \frac{1}{3}(-2)^3 = -2 + \frac{8}{3} = \frac{2}{3} \] \[ f(-1) = -1 - \frac{1}{3}(-1)^3 = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \] \[ f(0) = 0 - \frac{1}{3}(0)^3 = 0 \]

Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке \( [-2, 0] \) равно \( \frac{2}{3} \), а наименьшее значение равно \( -\frac{2}{3} \).