Question

Ребят, помогите решить одно из уравнений (только полное решение)1)2cos^2x-1=sinx2)sin^2x+sinxcosx=2cos^2x

Answer 1

$sin^2x+sinxcosx=2cos^2x\; |:cos^2x\ne 0\\\\tg^2x+tgx-2=0\\\\t^2+t-2=0,\; \; t_1=-2,t_2=1\\\\tgx=-2,x=-arctg2+\pi n,\; n\in Z\\\\tgx=1,\; x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in Z$

Answer 2

Решение уравнения 1

Уравнение 2cos^2x - 1 = sinx является тригонометрическим уравнением, которое можно решить следующим образом:

1. Приведем уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию. Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами:

cos^2x = 1 - sin^2x

Заменим cos^2x в исходном уравнении:

2(1 - sin^2x) - 1 = sinx

Упростим это уравнение:

2 - 2sin^2x - 1 = sinx

-2sin^2x + sinx + 1 = 0

2. Заметим, что данное уравнение является квадратным относительно sinx. Решим его с помощью квадратного уравнения:

Используем формулу дискриминанта для нахождения корней:

D = b^2 - 4ac

a = -2, b = 1, c = 1

D = 1 - 4(-2)(1) = 1 + 8 = 9

D > 0, значит, уравнение имеет два корня.

Теперь найдем сами корни:

sinx = (-b ± √D) / (2a)

sinx = (-1 ± √9) / (-4)

sinx = (-1 ± 3) / (-4)

a) sinx = (2) / (-4) = -1/2 b) sinx = (-4) / (-4) = 1

3. Найденные значения sinx могут быть подставлены в исходное уравнение, чтобы проверить их:

a) 2cos^2x - 1 = sinx 2cos^2x - 1 = -1/2 Для этого уравнения нет решений, так как cos^2x не может быть отрицательным числом.

b) 2cos^2x - 1 = sinx 2cos^2x - 1 = 1 2cos^2x = 2 cos^2x = 1 cosx = ±1

Здесь у нас два возможных решения: - cosx = 1, откуда x = 2πk, где k - целое число. - cosx = -1, откуда x = π(2k + 1), где k - целое число.

Таким образом, полное решение уравнения 2cos^2x - 1 = sinx: x = 2πk, x = π(2k + 1), где k - целое число.

Решение уравнения 2

Уравнение sin^2x + sinxcosx = 2cos^2x также является тригонометрическим уравнением, которое можно решить следующим образом:

1. Приведем уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию. Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами:

sin^2x = 1 - cos^2x

Заменим sin^2x в исходном уравнении:

1 - cos^2x + sinxcosx = 2cos^2x

Упростим это уравнение:

1 - cos^2x + sinxcosx - 2cos^2x = 0

-3cos^2x + sinxcosx + 1 = 0

2. Заметим, что данное уравнение является квадратным относительно cosx. Решим его с помощью квадратного уравнения:

Используем формулу дискриминанта для нахождения корней:

D = b^2 - 4ac

a = -3, b = sinx, c = 1

D = sin^2x - 4(-3)(1) = sin^2x + 12

Теперь найдем сами корни:

cosx = (-b ± √D) / (2a)

cosx = (-sinx ± √(sin^2x + 12)) / (-6)

3. Полученные значения cosx могут быть подставлены в исходное уравнение, чтобы проверить их. Однако, так как у нас нет конкретных значений для sinx, мы не можем найти точное решение уравнения. Вместо этого, мы можем выразить cosx через sinx и представить решение в виде уравнения, содержащего только sinx.

Таким образом, полное решение уравнения sin^2x + sinxcosx = 2cos^2x: cosx = (-sinx ± √(sin^2x + 12)) / (-6)

где sinx - произвольное значение.