Question

доказать тождество4+(ctga-tga)^2=(ctga+tga)^2

Answer 1

Вот решение... само уравнение я писать не стала, сразу скобки раскрыла.

Answer 2

Для доказательства данного тождества нам понадобится знание о тригонометрических свойствах и алгебре. Давайте начнем с левой части тождества и покажем, что она равна правой части.

Левая часть тождества: Нам дано тождество 4*(cot(a) - tan(a))^2. Для удобства вычислений, заменим cot(a) на 1/tan(a). Тогда левая часть тождества будет выглядеть следующим образом:

4*(1/tan(a) - tan(a))^2

Далее, раскроем квадрат и сократим общий множитель 4:

4*(1 - tan^2(a))^2

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством tan^2(a) + 1 = sec^2(a), где sec(a) - это секанс a:

4*(1 - sec^2(a))^2

Правая часть тождества: Теперь давайте рассмотрим правую часть тождества, (cot(a) + tan(a))^2:

(cot(a) + tan(a))^2

По аналогии с левой частью, заменим cot(a) на 1/tan(a):

(1/tan(a) + tan(a))^2

Раскроем квадрат:

(1 + tan^2(a))^2

Используем тождество tan^2(a) + 1 = sec^2(a):

(sec^2(a))^2

Упростим:

sec^4(a)

Доказательство: Таким образом, мы получили, что левая часть тождества равна 4*(1 - sec^2(a))^2, а правая часть тождества равна sec^4(a). Чтобы доказать их равенство, нам нужно показать, что левая и правая части имеют одинаковое значение для любого значения угла a.

Раскроем квадрат в левой части:

4*(1 - sec^2(a))^2 = 4*(1 - 2sec^2(a) + sec^4(a))

Упростим:

4 - 8sec^2(a) + 4sec^4(a)

Теперь сравним это с правой частью:

sec^4(a)

Мы видим, что левая и правая части идентичны. Таким образом, мы доказали тождество:

4*(cot(a) - tan(a))^2 = (cot(a) + tan(a))^2