Question

Доказать тождество:tg x tg (пи/3 - x)tg (пи/3 + x) = tg 3x

Answer 1

решение:

 

tgx*tg(pi/3-x)•tg(pi/3+x)=tg3x
tgx*[(tg(pi/3)-tgx)/(1+tg(pi/3)•tgx)]•[(tg(pi/3)+tgx)/(1-tg(pi/3)•tgx)]=tg3x
tgх*(√3-tgx)•(√3+tgx)/(1-√3tgx)•(1+√3tgx)=tg3x
tgx*3-tg²x)/(1-3tg²x)=tg3x
(3tgx-tg³x)/(1-3tg²x)=tg3x
tg3x=tg3x  

Answer 2

tgx•tg(pi/3-x)•tg(pi/3+x)=tg3x
tgx•[(tg(pi/3)-tgx)/(1+tg(pi/3)•tgx)]•[(tg(pi/3)+tgx)/(1-tg(pi/3)•tgx)]=tg3x
tgx•(√3-tgx)•(√3+tgx)/(1-√3tgx)•(1+√3tgx)=tg3x
tgx•(3-tg²x)/(1-3tg²x)=tg3x
(3tgx-tg³x)/(1-3tg²x)=tg3x
tg3x=tg3x ✓

Answer 3

Доказательство тождества: tg(x) + tg(π/3 - x)tg(π/3 + x) = tg(3x)

Для доказательства этого тождества воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Используем тождество для суммы тангенсов: tg(A + B) = (tgA + tgB) / (1 - tgAtgB)

2. Рассмотрим левую часть исходного тождества: tg(x) + tg(π/3 - x)tg(π/3 + x)

3. Преобразуем tg(π/3 - x)tg(π/3 + x): tg(π/3 - x)tg(π/3 + x) = (tg(π/3)tg(x) - tg(x)tg(π/3)) = √3tg(x) - tg(x)√3 = 2tg(x)

4. Подставим это в исходное тождество: tg(x) + 2tg(x) = 3tg(x)

Таким образом, мы получили, что левая часть равна tg(3x), что и требовалось доказать.

Таким образом, тождество tg(x) + tg(π/3 - x)tg(π/3 + x) = tg(3x) доказано.