Question

СРОЧНООО.20 баллов. ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА. докажите, что для любого значения х справедливо неравенство cos(10+x)sinx>sin(10+x)cosx

Answer 1

 cos(10+x)sinx>sin(10+x)cosx
 cos(10+x)sinx-sin(10+x)cosx>0
Sin(10+x -10 -x) = Sin0 = 0
так что в условии должен быть знак ≥
тогда можно доказать...

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами функций синуса и косинуса.

Доказательство:

Исходное неравенство: cos(10+x)sinx > sin(10+x)cosx

Мы можем переписать левую и правую части неравенства, используя тригонометрические тождества:

cos(10+x)sinx = (cos10cosx - sin10sinx)sinx = cos10cosxsinx - sin10sin^2(x)

sin(10+x)cosx = (sin10cosx + cos10sinx)cosx = sin10cosx^2 + cos10sinxcosx

Теперь мы можем сравнить полученные выражения:

(cos10cosxsinx - sin10sin^2(x)) > (sin10cosx^2 + cos10sinxcosx)

Раскроем скобки:

cos10cosxsinx - sin10sin^2(x) > sin10cosx^2 + cos10sinxcosx

Сгруппируем слагаемые:

cos10cosxsinx - sin10sin^2(x) - sin10cosx^2 - cos10sinxcosx > 0

Теперь упростим выражение, вынесем общий множитель за скобки:

cosx(sin10cos10 - sin^2(10) - sin10cosx - cos10sinx) > 0

Мы видим, что в скобках находится разность двух синусов:

sin10cos10 - sin^2(10) - sin10cosx - cos10sinx = sin(10 - 10) - sin(10 + x) = -sin(10 + x)

Теперь мы можем переписать неравенство:

cosx(-sin(10 + x)) > 0

Известно, что cosx всегда положительно, за исключением случая, когда x = (2n + 1) * π, где n - целое число. Таким образом, неравенство будет выполняться для любого значения x, кроме указанного исключения.

Ответ:

Для любого значения x, кроме x = (2n + 1) * π, где n - целое число, справедливо неравенство cos(10+x)sinx > sin(10+x)cosx.