Question

Решите неравенство x^2+4x-8/(2x^2+x-6)>=1

Answer 1

Вот правильное решение:
(x²+4x-8-2x²-x+6)/(2x²+x-6)≥0

-x²+3x-2=0                             2x²+x-6≠0
D=9-8=1                                 D=1+48=49
x1=(-3+1)/(-2)=1                       x1=(-1+7)/4=1,5
x2=(-3-1)/(-2)=2                        x2=(-1-7)/4=-2
-x²+3x-2≤0 при x≤1 и x≥2      2x²+x-6>0 при x<-2 и x>1,5
-x²+3x-2≥0 при 1≤x≤2            2x²+x-6<0 при -2<x<1,5
Выбираем те интервалы, где числитель и знаменатель одинакового знака:
Ответ: х∈(-2;1], х∈(1,5;2]

Answer 2

Давайте решим это неравенство шаг за шагом.

Неравенство:

Мы должны решить неравенство \( \frac{x^2+4x-8}{2x^2+x-6} \geq 1 \).

Шаг 1: Нахождение области определения:

Прежде чем начать решать неравенство, давайте найдем область определения. Область определения - это множество значений переменной, для которых функция определена. В данном случае, нам нужно исключить значения переменной, для которых знаменатель равен нулю, так как деление на ноль невозможно.

Для этого решим уравнение в знаменателе: \(2x^2+x-6=0\).

Шаг 2: Решение уравнения в знаменателе:

Давайте решим уравнение \(2x^2+x-6=0\), чтобы найти значения, при которых знаменатель равен нулю.

Используем квадратное уравнение или метод факторизации, чтобы найти корни этого уравнения.

Квадратное уравнение:

Уравнение \(ax^2+bx+c=0\) решается с помощью формулы дискриминанта: \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).

Для уравнения \(2x^2+x-6=0\), коэффициенты \(a=2\), \(b=1\), и \(c=-6\).

Решение квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2-4(2)(-6)}}{2(2)} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+48}}{4} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4} \]

\[ x = \frac{-1 \pm 7}{4} \]

\[ x_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]

\[ x_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \]

Таким образом, у нас два корня: \( x = \frac{3}{2} \) и \( x = -2 \).

Шаг 3: Построение интервалов:

Теперь мы можем построить интервалы на числовой прямой, используя найденные корни \( x = \frac{3}{2} \) и \( x = -2 \). Мы будем рассматривать три интервала: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, \frac{3}{2}) \), и \( (\frac{3}{2}, +\infty) \).

Шаг 4: Определение знака выражения:

Для каждого интервала определим знак выражения \( \frac{x^2+4x-8}{2x^2+x-6} - 1 \) и найдем интервалы, в которых это выражение больше или равно нулю.

Шаг 5: Проверка знака выражения на интервалах:

Давайте подставим тестовые точки из каждого интервала в выражение \( \frac{x^2+4x-8}{2x^2+x-6} - 1 \) и определим знак выражения в каждом интервале.

* Для интервала \( (-\infty, -2) \): Подставим \( x = -3 \) (произвольная точка меньше -2).

\[ \frac{(-3)^2+4(-3)-8}{2(-3)^2+(-3)-6} - 1 = \frac{9-