Question

Найдите наименьшее решение неравенства (x-3)(x 4)^2≥0

Answer 1

(x-3)(x-4)^2>0

x-3>0

x-4>0

ответ: х>3

Answer 2

Для нахождения наименьшего решения данного неравенства, мы должны рассмотреть значения переменной x, при которых неравенство выполнено.

Данное неравенство можно разбить на три случая, исходя из знаков каждого множителя: (x-3), (x+4), и (x+4)^2. Для этого нам нужно определить значения x, при которых каждый из множителей равен нулю.

1. x-3 = 0 Из этого уравнения получаем x = 3.

2. x+4 = 0 Здесь получаем x = -4.

3. (x+4)^2 = 0 Квадратный корень из нуля равен нулю, поэтому x+4 = 0, и мы получаем x = -4.

Теперь мы можем построить таблицу знаков для каждого из множителей и для всего выражения (x-3)(x+4)^2:

   x        x-3      x+4      (x-3)(x+4)^2
-------------------------------------------
  x < -4    -       -        +
 -4 < x < 3  -       +        -
  x > 3     +       +        +

Из таблицы видно, что неравенство (x-3)(x+4)^2 ≥ 0 выполняется, когда x принадлежит интервалу (-∞, -4] объединенному с [3, +∞).

То есть, наименьшее решение данного неравенства равно x = -4.

Проверим это, подставив x = -4 в исходное неравенство: (-4 - 3)(-4 + 4)^2 = (-7)(0)^2 = 0.

Таким образом, неравенство выполняется при x = -4, и это наименьшее решение.