Question

Найти производную модуля числа x при x не равном нулю а также производную дробной части числа {x}, интеграл модуля и дробной части

Answer 1

$y=|x|\\ y'=\frac{x}{|x|}$
интеграл от нее , известно что равен 
 $\int\limits { \frac{x^2}{2}*sgn(x)+C}$ , хотя по сути можно упрощение сделать. Это лишь формальности 

По формуле  
$(x)=x-[x]$ , где $[x]$ целая часть числа. 
 По свойству кусочных функций ,  сама дробная часть имеет период $T=1$ , это  видно из графика   . 
  И она очевидно разрывна , что уже говорит что у нее производная будет равна 
   ${x}'=1$ 
 Интеграл можно  "раздробить"  ориентируясь по графику , можно заметить то что площадь есть сумма площадей прямоугольных треугольников , длинами катетов равными 1 и 1 . 
 Если брать общее число каких то площадей , то тут суммарно не разберешься , если же какой та определенный кусок есть .
к примеру  от  $0$  до $"n"$ , то   площадь этих треугольников , равна   $\frac{1*1}{2}$ , если же  перейти к примеру  то 
 $\int\limits^n_0 \frac{[x]}{2}^2+\frac{(x)}{2}^2 +C$

Answer 2

Для начала рассмотрим производную модуля числа x при x ≠ 0. Модуль числа x обычно обозначается как |x| и определяется следующим образом:

|x| = - x, если x < 0, - x, если x ≥ 0.

Чтобы найти производную модуля числа x, мы должны рассмотреть два случая: x < 0 и x ≥ 0.

Случай x < 0:

Когда x < 0, модуль числа x равен -x. То есть, |x| = -x. В этом случае производная модуля числа x будет равна производной функции -x. Производная функции -x равна -1.

Случай x ≥ 0:

Когда x ≥ 0, модуль числа x равен x. То есть, |x| = x. В этом случае производная модуля числа x будет равна производной функции x. Производная функции x равна 1.

Таким образом, производная модуля числа x при x ≠ 0 равна -1, если x < 0, и 1, если x ≥ 0.

Теперь рассмотрим производную дробной части числа {x}. Дробная часть числа обозначается как {x} и определяется как разность числа x и его целой части, то есть {x} = x - ⌊x⌋, где ⌊x⌋ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x.

Чтобы найти производную дробной части числа {x}, мы рассмотрим производную функции {x} = x - ⌊x⌋.

Случай x < 0:

Когда x < 0, дробная часть числа {x} равна самому числу x, так как целая часть числа x равна наибольшему целому числу, не превосходящему x, а в данном случае это число будет меньше нуля. То есть, {x} = x. В этом случае производная дробной части числа {x} будет равна производной функции x. Производная функции x равна 1.

Случай x ≥ 0:

Когда x ≥ 0, дробная часть числа {x} равна разности числа x и его целой части, то есть {x} = x - ⌊x⌋. В этом случае производная дробной части числа {x} будет равна производной функции x - ⌊x⌋. Производная функции x - ⌊x⌋ равна 1.

Таким образом, производная дробной части числа {x} при x ≠ 0 равна 1, если x < 0, и 1, если x ≥ 0.

Теперь рассмотрим интеграл модуля числа |x| и интеграл дробной части числа {x}.

Интеграл модуля числа |x|:

Интеграл модуля числа |x| можно разбить на два случая: x < 0 и x ≥ 0.

Случай x < 0:

Когда x < 0, модуль числа |x| равен -x. То есть, |x| = -x. В этом случае интеграл модуля числа |x| будет равен интегралу функции -x. Интеграл функции -x равен -x^2/2 + C, где C - произвольная постоянная.

Случай x ≥ 0:

Когда x ≥ 0, модуль числа |x| равен x. То есть, |x| = x. В этом случае интеграл модуля числа |x| будет равен интегралу функции x. Интеграл функции x равен x^2/2 + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, интеграл модуля числа |x| равен -x^2/2 + C, если x < 0, и x^2/2 + C, если x ≥ 0.

Интеграл дробной части числа {x}:

Интеграл дробной части числа {x} можно разбить на два случая: x < 0 и x ≥ 0.

Случай x < 0:

Когда x < 0, дробная часть числа {x} равна самому числу x, так как целая часть числа x равна наибольшему целому числу, не превосходящему x, а в данном случае это число будет меньше нуля. То есть, {x} = x. В этом случае интеграл дробной части числа {x} будет равен интегралу функции x. Интеграл функции x равен x^2/2 + C, где C - произвольная постоянная.

Случай x ≥ 0:

Когда x ≥ 0, дробная часть числа {x} равна разности числа x и его целой части, то есть {x} = x - ⌊x⌋. В этом случае интеграл дробной части числа {x} будет равен интегралу функции x - ⌊x⌋. Интеграл функции x - ⌊x⌋ равен x^2/2 - ⌊x⌋x + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, интеграл дробной части числа {x} равен x^2/2 + C, если x < 0, и x^2/2 - ⌊x⌋x + C, если x ≥ 0.

Надеюсь, это поможет! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.