Question

Помогите (x+1)(x-1)/x+4<0

Answer 1

$\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)}{x}+4\ \textless \ 0$

Нельзя допустить деление на нуль, следовательно, сразу пишем:
$\displaystyle x \neq 0$


$\displaystyle \frac{x^2-1}{x}+4\ \textless \ 0$

Умножаем на x:
$\displaystyle x^2-1+4x\ \textless \ 0$

Решаем уравнение:
$\displaystyle x^2-1+4x=0\\\sqrt{D}=\sqrt{16+4}= \sqrt{20} =2 \sqrt{5} \\\\x_{1,2}= \frac{-4\pm 2 \sqrt{5} }{2}= -2\pm \sqrt{5}$

Рисуем координатную прямую, отмечаем на ней корни уравнения а так же не забываем про 0 . От этих точек образуется 4 интервала. Находим знаки данных интервалов. 
В итоге, имеем:
$\displaystyle (-\infty,-2- \sqrt{5} ) \Rightarrow -\\(-2- \sqrt{5} ,0 ) \Rightarrow +\\(0,-2+ \sqrt{5}) \Rightarrow - \\(-2+ \sqrt{5} ,+\infty) \Rightarrow +$

Нам нужны все интервалы со знаком минус. Так как изначальное уравнение строго меньше нуля.
Записываем ответ:
$\displaystyle x\in (-\infty,-2- \sqrt{5} ) \cup (0,-2+ \sqrt{5})$

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, давайте сначала разложим числитель:

(x+1)(x-1)

По формуле разности квадратов, мы можем разложить это выражение как:

(x+1)(x-1) = x^2 - 1

Теперь мы можем записать исходное неравенство как:

(x^2 - 1)/(x+4) < 0

Теперь давайте найдем точки разрыва функции, которые являются нулями знаменателя и числителя.

Для знаменателя: x+4 = 0 x = -4

Для числителя: x^2 - 1 = 0 x^2 = 1 x = ±1

Теперь мы можем построить таблицу знаков для интервалов между этими точками:

-∞ -4 -1 1 +∞ (x+4) - 0 + + + (x^2-1) + + - + + --------------------------------- - 0 + - +

Таким образом, неравенство (x^2 - 1)/(x+4) < 0 выполняется для интервалов (-4, -1) и (1, +∞). Таким образом, решением этого неравенства будет:

-4 < x < -1 или x > 1