Question

Найти сумму первых 80 членов арифметической прогрессии у которой S20=10, а S40=40

Answer 1

S20=10; S40=40; S80-?
Составим систему уравнений с двумя неизвестными:
S20=(2a1+19d)*20/2=(2a1+19d)*10=10; ⇒2a1+19d=1 (1);
S40=(2a1+39d)*40/2=(2a1+39d)*20=40;⇒2a1+39d=2 (2);
(1) 2a1+19d=1;
(2) 2a1+39d=2;
Из (1) выражаем 2а1 и подставляем полученное выражение во (2):
(1) 2a1=1-19d;
(2) 1-19d+39d=2;
1+20d=2;
20d=2-1;
20d=1;
d=1/20.
(1) a1=(1-19d)/2=(1-19*1/20)/2=1/40.
Находим S80=(2a1+79d)*80/2=(2*1/40+79*1/20)*80/2=(1/20+79/20)*40=
=80/20*40=4*40=160.
Ответ: 160.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти сумму первых 80 членов арифметической прогрессии, у которой S20 = 10 и S40 = 40.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем прибавления к предыдущему члену одного и того же числа, называемого разностью прогрессии.

Формула для нахождения суммы членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии может быть найдена с использованием следующей формулы:

Sn = (n/2)(a1 + an)

где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, an - n-й член прогрессии.

Решение

У нас есть два условия: S20 = 10 и S40 = 40. Мы можем использовать эти условия для нахождения значения разности прогрессии (d) и первого члена прогрессии (a1).

Используем формулу для нахождения суммы первых 20 членов прогрессии:

S20 = (20/2)(a1 + a20) = 10

Используем формулу для нахождения суммы первых 40 членов прогрессии:

S40 = (40/2)(a1 + a40) = 40

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения a1 и d.

Решение системы уравнений

1. Уравнение 1: (20/2)(a1 + a20) = 10 2. Уравнение 2: (40/2)(a1 + a40) = 40

Разделим оба уравнения на 10:

1. (2)(a1 + a20) = 1 2. (4)(a1 + a40) = 4

Упростим уравнения:

1. a1 + a20 = 1/2 2. a1 + a40 = 1

Вычтем уравнение 1 из уравнения 2:

(a1 + a40) - (a1 + a20) = 1 - 1/2

Упростим:

a40 - a20 = 1/2

Таким образом, разность прогрессии (d) равна 1/2.

Теперь мы можем найти первый член прогрессии (a1) с использованием уравнения 1:

a1 + a20 = 1/2

a1 + (a1 + 19d) = 1/2

2a1 + 19(1/2) = 1/2

2a1 + 19/2 = 1/2

2a1 = 1/2 - 19/2

2a1 = -18/2

a1 = -9

Таким образом, первый член прогрессии (a1) равен -9, а разность прогрессии (d) равна 1/2.

Нахождение суммы первых 80 членов прогрессии

Теперь, когда у нас есть значения a1 и d, мы можем использовать формулу для нахождения суммы первых 80 членов прогрессии:

S80 = (80/2)(a1 + a80)

Подставим значения a1 = -9 и d = 1/2:

S80 = (80/2)(-9 + (-9 + 79(1/2)))

Упростим:

S80 = 40(-9 + (-9 + 39(1/2)))

S80 = 40(-9 + (-9 + 19.5))

S80 = 40(-9 + 10.5)

S80 = 40(1.5)

S80 = 60

Таким образом, сумма первых 80 членов арифметической прогрессии равна 60.

Источники: