Question

Розв'язати нерівність |x^2-x+1|>=|x^2-3x+4|

Answer 1

Обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в квадрат. Сделаем это, по пути заметив, что нет разницы, что возводить в квадрат, число или его модуль:

|x^2 - x + 1| ≥ |x^2 - 3x + 4|
(x^2 - x + 1)^2 ≥ (x^2 - 3x + 4)^2

Переносим квадраты в одну часть и раскладываем разность квадратов:
(x^2 - x + 1)^2 - (x^2 - 3x + 4)^2 ≥ 0
((x^2 - x + 1) - (x^2 - 3x + 4))((x^2 - x + 1) + (x^2 - 3x + 4)) ≥ 0
(x^2 - x + 1 - x^2 + 3x - 4)(x^2 - x + 1 + x^2 - 3x + 4) ≥ 0
(2x - 3)(2x^2 - 4x + 5) ≥ 0

Вторая скобка не имеет корней, так как дискриминант квадратного трехчлена отрицательный: D = 16 - 40 = -24. Поскольку перед x^2 стоит положительное число, вторая скобка принимает только положительные значения, на неё можно разделить.

2x - 3 ≥ 0
2x ≥ 3
x ≥ 3/2

Ответ. x ≥ 3/2

Answer 2

Давайте спробуємо розв'язати цю нерівність.

Спочатку розглянемо випадок, коли обидві сторони нерівності додатні. Тобто, x^2 - x + 1 ≥ x^2 - 3x + 4.

Розкриваємо дужки: -x + 1 ≥ -3x + 4.

Переносимо все, що містить x, на одну сторону нерівності, а все, що не містить x, на іншу сторону: 2x ≥ 3.

Отже, в цьому випадку ми отримуємо: x ≥ 3/2.

Тепер розглянемо випадок, коли обидві сторони нерівності від'ємні. Тобто, -(x^2 - x + 1) ≥ -(x^2 - 3x + 4).

Розкриваємо дужки: -x^2 + x - 1 ≥ -x^2 + 3x - 4.

Після спрощення отримуємо: 2x ≥ 3.

Це дає нам той самий результат: x ≥ 3/2.

Отже, розв'язком нерівності |x^2-x+1| ≥ |x^2-3x+4| є x ≥ 3/2 або x ≤ -3/2.