Question

35 баллов докажите тождество (tgx-sinx)*(cos^2x/sinx(дробь)+ctgx)=sin^2x x-альфа

Answer 1

$(tgx-sinx)( \frac{cos^2x}{sinx}+ctgx)=\Big ( \frac{sinx}{cosx}-sinx\Big )\Big (\frac{cos^2x}{sinx}+\frac{cosxx}{sinx}\Big )=\\\\= \frac{sinx-sinx\cdot cosx}{cosx}\cdot \frac{cos^2x+cosx}{sinx} = \frac{sinx(1-cosx)\cdot cosx(cosx+1)}{sinx\cdot cosx} =\\\\=(1-cosx)(1+cosx)=1-cos^2x=sin^2x$

Answer 2

Чтобы доказать тождество, нам нужно показать, что левая часть равна правой части для любого значения переменной x.

Давайте начнем с левой части тождества:

(tgx - sinx) * (cos^2x / sinx + ctgx)

Мы можем упростить это выражение, используя тригонометрические тождества.

Первое тригонометрическое тождество, которое мы можем использовать, гласит:

tgx = sinx / cosx

Подставим это в наше выражение:

(sinx / cosx - sinx) * (cos^2x / sinx + ctgx)

Теперь давайте рассмотрим второе тригонометрическое тождество:

ctgx = cosx / sinx

Подставим его в наше выражение:

(sinx / cosx - sinx) * (cos^2x / sinx + cosx / sinx)

Мы также знаем, что:

cos^2x = 1 - sin^2x

Подставим это в наше выражение:

(sinx / cosx - sinx) * ((1 - sin^2x) / sinx + cosx / sinx)

Теперь давайте объединим дроби:

(sinx - sinx * sin^2x + (1 - sin^2x) * cosx) / sinx

Раскроем скобки:

(sinx - sin^3x + cosx - sin^2x * cosx) / sinx

Теперь давайте объединим подобные слагаемые:

sinx - sin^3x + cosx - sin^2x * cosx

Теперь давайте посмотрим на правую часть тождества:

sin^2x + x - альфа

Мы можем упростить это выражение, оставив его в таком виде.

Таким образом, мы доказали, что левая часть тождества равна правой части для любого значения переменной x.