Question

Разложите многочлен x^4−2x^3+x^2−1 на множители

Answer 1

$x^4-2x^3+x^2-1=x^2(x^2-2x+1)-1=x^2(x-1)^2-1=\\(x^3-x^2-1)(x^3-x^2+1)$

Answer 2

Для разложения многочлена x^4−2x^3+x^2−1 на множители, сначала ищем его корни. Для этого можно воспользоваться методом подбора, используя целые числа в качестве возможных корней.

Пробуем подставлять различные целые числа вместо x и проверяем, будет ли многочлен обращаться в ноль. Если найдем корень, то делим многочлен на x-корень.

x^4−2x^3+x^2−1 = (x-1)(x^3-x^2-1)

Получаем, что (x-1) является одним из множителей многочлена. Теперь можем продолжить разложение множителя x^3-x^2-1 на множители, используя тот же метод подбора.

Продолжаем метод подбора и находим, что x^3-x^2-1 = (x-1)(x^2+x+1)

Таким образом, разложение многочлена x^4−2x^3+x^2−1 на множители будет:

x^4−2x^3+x^2−1 = (x-1)(x-1)(x^2+x+1)