Question

1. РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ А) х^3+9х^2-27х-27=0 Б) (2х-1)^3-(2х-4)^3=9 2. Вычислите координаты точек пересечения графиков функций у=5х^2+8х+7 и у=2х^2-3х+11

Answer 1

А) упрощаем (x-3)(x^2+12x+9)=0
D=12^2-4*1*1=108
x=-3^(3/2)-6, x=3^(3/2)-6, x=3
Б) по теореме Виета x1+x2=90/36=2,5
x1*x2=54/36=1,5
x=1, x=3/2

Answer 2

1. Решение уравнений:

а) Для решения уравнения `х^3 + 9х^2 - 27х - 27 = 0` можно воспользоваться различными методами, включая методы факторизации, графический метод или численные методы, такие как метод Ньютона. В этом случае мы воспользуемся методом факторизации.

Начнем с факторизации выражения. Можно заметить, что число 3 является корнем уравнения, так как `3^3 + 9 * 3^2 - 27 * 3 - 27 = 0`. Таким образом, `(х - 3)` является делителем данного уравнения.

Применим деление полинома на `(х - 3)`:

   х^2 + 12х + 9
--------------
х - 3 | х^3 + 9х^2 - 27х - 27
       - (х^3 - 3х^2)
       --------------
               12х^2 - 27х
               - (12х^2 - 36х)
               --------------
                         9х - 27
                         - (9х - 27)
                         ---------
                                0

Получаем, что `(х - 3)` является одним из делителей. Теперь мы можем записать данное уравнение в виде `(х - 3)(х^2 + 12х + 9) = 0` и решить его дальше.

Теперь решим квадратное уравнение `х^2 + 12х + 9 = 0` с помощью квадратного трехчлена или формулы корней квадратного уравнения. В данном случае, коэффициенты `a = 1`, `b = 12` и `c = 9`.

х = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
  = (-12 ± √(12^2 - 4 * 1 * 9)) / (2 * 1)
  = (-12 ± √(144 - 36)) / 2
  = (-12 ± √108) / 2
  = (-12 ± 6√3) / 2
  = -6 ± 3√3

Таким образом, уравнение `х^3 + 9х^2 - 27х - 27 = 0` имеет три корня: `х = -6 + 3√3`, `х = -6 - 3√3` и `х = 3`.

б) Для решения уравнения `(2х - 1)^3 - (2х - 4)^3 = 9` мы также можем воспользоваться методом факторизации.

Разложим выражение `(2х - 1)^3 - (2х - 4)^3` по формуле суммы кубов: `a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)`. Применим эту формулу:

(2х - 1)^3 - (2х - 4)^3 = [(2х - 1) - (2х - 4)][(2х - 1)^2 + (2х - 1)(2х - 4) + (2х - 4)^2]
                        = [3 - 2х][(2х - 1)^2 + (2х - 1)(2х - 4) + (2х - 4)^2]
                        = [3 - 2х][(2х - 1)^2 + (2х - 1)(2х - 4) + (2х - 4)^2]
                        = [3 - 2х][(2х - 1)^2 + 4(х - 1)(х - 2) + (2х - 4)^2]

Таким образом, уравнение `(2х - 1)^3 - (2х - 4)^3 = 9` можно записать в виде `3 - 2х = 0` или `(2х - 1)^2 + 4(х - 1)(х - 2) + (2х - 4)^2 = 9` и решить каждое уравнение отдельно.

- Для уравнения `3 - 2х = 0`:

3 - 2х = 0
2х = 3
х = 3/2

- Для уравнения `(2х - 1)^2 + 4(х - 1)(х - 2) + (2х - 4)^2 = 9`:

(2х - 1)^2 + 4(х - 1)(х - 2) + (2х - 4)^2 = 9
(2х - 1)^2 + 4(х^2 - 3х + 2) + (2х - 4)^2 = 9
(2х - 1)^2 + 4х^2 - 12х + 8 + (2х - 4)^2 = 9
4х^2 - 4х + 1 + 4х^2 - 16х + 16 = 9
8х^2 - 20х + 8 = 9
8х^2 - 20х - 1 = 0

Применим формулу корней квадратного уравнения:

х = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
  = (-(-20) ± √((-20)^2 - 4 * 8 * (-1))) / (2 * 8)
  = (20 ± √(400 + 32)) / 16
  = (20 ± √432) / 16
  = (20 ± 4√3) / 16
  = (5 ± √3) / 4

Таким образом, уравнение `(2х - 1)^3 - (2х - 4)^3 = 9` имеет два корня: `х = (5 + √3) / 4` и `х = (5 - √3) / 4`.

2. Вычисление координат точек пересечения графиков функций:

У нас даны две функции: `у = 5х^2 + 8х + 7` и `у = 2х^2 - 3х + 11`. Чтобы найти точки пересечения, нужно приравнять эти функции друг к другу и решить полученное уравнение.

5х^2 + 8х + 7 = 2х^2 - 3х + 11
3х^2 + 11х - 4 = 0

Применим формулу корней квадратного уравнения:

х = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
  = (-11 ± √(11^2 - 4 * 3 * (-4))) / (2 * 3)
  = (-11 ± √(121 + 48)) / 6
  = (-11 ± √169) / 6
  = (-11 ± 13) / 6

Таким образом, уравнение `5х^2 + 8х + 7 = 2х^2 - 3х + 11` имеет два корня: `х = -4` и `х = 1`.

Теперь подставим эти значения `х` в любую из функций, чтобы найти соответствующие значения `у`.

Для `х = -4`:

у = 5х^2 + 8х + 7
  = 5(-4)^2 + 8(-4) + 7
  = 80 - 32 + 7
  = 55

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты `(-4, 55)`.

Для `х = 1`:

``` у = 5х^2 + 8х + 7 = 5(1)^2 + 8(1) + 7 = 5 +