Question

Найдите 1/x1^3+1/x2^3, где x1 и x2, корни уравнения x^2-3x-6=0

Answer 1

$x^2-3x-6=0$
$a=1; b=-3; c=-6$
$D=b^2-4ac$
$D=(-3)^2-4*1*9-6)=33>0$
значит действительные корни у уравнения x^2-3x-6=0 есть и они разные

по теореме Виета имеем
$x_1+x_2=-(-3)=3$
$x_1x_2=-6$

откуда
$\frac{1}{x^3_1}+\frac{1}{x^3_2}=\frac{x^3_1+x^3_2}{x^3_1x^3_2}=$
$\frac{(x_1+x_2)(x^2_1-x_1x_2+x^2_2)}{(x_1x_2)^3}=$
$\frac{(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3(x_1x_2))}{(x_1x_2)^3}=$
$\frac{3*(3^2-3*(-6))}{(-6)^3}=\frac{81}{216}=\frac{3}{8}$
ответ: 3/8

Answer 2

Для начала найдем корни уравнения \(x^2 - 3x - 6 = 0\), используя формулу квадратного уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где у нас \(a = 1\), \(b = -3\), и \(c = -6\). Подставим эти значения в формулу:

\[x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4*1*(-6)}}{2*1}\] \[x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2}\] \[x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}\]

Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 3x - 6 = 0\) равны \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}\) и \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{33}}{2}\).

Теперь, чтобы найти значение выражения \(1/x_1^3 + 1/x_2^3\), мы можем подставить найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) в это выражение:

\[1/x_1^3 + 1/x_2^3 = \frac{1}{{(\frac{3 + \sqrt{33}}{2})}^3} + \frac{1}{{(\frac{3 - \sqrt{33}}{2})}^3}\]

Далее я могу помочь с упрощением этого выражения, если это необходимо.