Question

Log2(x-5)+log2(x+2)>3 помогите, пожалуйста решить

Answer 1

ОДЗ
$\left \{ {{x-5\ \textgreater \ 0} \atop {x+2\ \textgreater \ 0}} \right. \\ \\ \left \{ {{x\ \textgreater \ 5} \atop {x\ \textgreater \ -2}} \right. \\ \\ x\ \textgreater \ 5$
$log_2(x-5)+log_2(x+2)\ \textgreater \ 3 \\ \\ log_2(x-5)(x+2)\ \textgreater \ 3 \\ \\ (x+2)(x-5)\ \textgreater \ 2^3 \\ \\ x^{2} -5x+2x-10\ \textgreater \ 8 \\ \\ x^{2} -3x-18\ \textgreater \ 0 \\ \\ D=3^2+4*18= 81 \\ \\ x_1= \frac{3+9}{2}=6 \\ \\ x_2=\frac{3-9}{2}=-3 \\ \\ x \in (-\infty; -3) U (6; + \infty)$

Объединим с ОДЗ
х ∈ (6; +∞)

Ответ х ∈ (6; +∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала объединим логарифмы с помощью свойства логарифмов:

log2((x-5)(x+2)) > 3

Далее применим свойство логарифмов, согласно которому логарифм от числа возводится в степень равенством этого числа:

(x-5)(x+2) > 2^3 (x-5)(x+2) > 8

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x^2 - 3x - 10 > 8 x^2 - 3x - 18 > 0

Теперь решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения x^2 - 3x - 18 = 0:

D = (-3)^2 - 4*1*(-18) = 9 + 72 = 81 x1,2 = (3 ± √81) / 2*1 x1,2 = (3 ± 9) / 2 x1 = (3 + 9) / 2 = 12 / 2 = 6 x2 = (3 - 9) / 2 = -6 / 2 = -3

Теперь построим знаки неравенства на числовой прямой, используя найденные корни:

---o---o---o---

Теперь выберем тестовую точку в каждом интервале и определим знак выражения x^2 - 3x - 18 в этих точках. Например, возьмем x = 0, x = 5 и x = 7:

x = 0: 0^2 - 3*0 - 18 = -18 < 0 x = 5: 5^2 - 3*5 - 18 = 25 - 15 - 18 = 7 > 0 x = 7: 7^2 - 3*7 - 18 = 49 - 21 - 18 = 10 > 0

Таким образом, неравенство x^2 - 3x - 18 > 0 выполняется для x из интервала (-∞, -3) и (6, +∞). Итак, решение неравенства будет:

x < -3 или x > 6

Таким образом, множество решений неравенства log2(x-5) + log2(x+2) > 3 это (-∞, -3) объединенное с (6, +∞).