Question

В девяти клетках квадратной таблицы 3×3 записаны различные натуральные числа. Перемножив все три числа в каждой строке и все три числа в каждом столбце, получили шесть равных произведений. Найдите наименьшую возможную сумму всех девяти чисел, если в угловых клетках записаны числа 2, 5, 7 и 11.

Answer 1

 Рассмотрим для начало произвольный вид таблицы 3x3, пусть  
 $\begin{Bmatrix} x& a& y\\ b& c& d \\ n& e & m \end{Bmatrix}$ то есть $x,y,n,m$  это крайние числа, по условию  
$xay = bcd = nem = xbn = ace = ydm$ 
 откуда $a,b,c,d,e$ соответственно равны 
 $a, \frac{ay}{n}, \frac{nm}{a}, \frac{ax}{m}, \ \frac{axy}{mn}$ 
  откуда число $a=mn$  как минимально возможное, значит  
 $S=a+b+c+d+e+2+5+7+11 = a+b+c+d+e+25 = \\ S= mn+ ym+ 1 + nx + xy = (m+x)(n+y)+1$
то есть надо выбрать из $2,5,7,11$ чтобы $(m+x)(n+y)$  было минимальным $S=(2+5)(7+11)+26 = 152$  
 Ответ $152$ 

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти наименьшую возможную сумму всех девяти чисел, при условии, что в угловых клетках записаны числа 2, 5, 7 и 11, и что перемножив все три числа в каждой строке и каждом столбце, мы получили шесть равных произведений.

Подход к решению

Давайте воспользуемся методом пошагового рассмотрения различных вариантов. Мы знаем, что у нас есть 6 произведений, и мы хотим найти наименьшую возможную сумму. Для начала, давайте посмотрим на возможные варианты распределения чисел в клетках.

Распределение чисел

Мы можем представить возможные варианты распределения чисел в угловых клетках и далее рассчитать произведения для каждого варианта: 1. 2, 5, 7, 11 2. 2, 5, 11, 7 3. 2, 7, 5, 11 4. 2, 7, 11, 5 5. 2, 11, 5, 7 6. 2, 11, 7, 5

Расчет произведений

После того как мы распределили числа, мы можем рассчитать произведения для каждой строки и столбца:

1. Произведения строк: - Строка 1: 2 * 5 * 7 = 70 - Строка 2: 5 * 7 * 11 = 385 - Строка 3: 7 * 11 * 2 = 154 2. Произведения столбцов: - Столбец 1: 2 * 5 * 7 = 70 - Столбец 2: 5 * 7 * 11 = 385 - Столбец 3: 7 * 11 * 2 = 154

Нахождение суммы

Теперь, когда у нас есть произведения для каждой строки и столбца, мы можем найти сумму всех девяти чисел: 2 + 5 + 7 + 11 + 70 + 385 + 154 = 734

Ответ

Таким образом, наименьшая возможная сумма всех девяти чисел, при заданных условиях, равна 734.