Question

Докажите неравенство (x-2)>x(x-4)

Answer 1

Решение в приложении:

Answer 2

Для доказательства неравенства (x-2) > x(x-4), мы можем разложить выражение и проанализировать каждую его часть. Давайте начнем:

1. Разложение неравенства:

(x-2) > x(x-4)

Раскроем скобки:

x - 2 > x^2 - 4x

2. Перенесем все члены в левую часть:

0 > x^2 - 4x - x + 2

0 > x^2 - 5x + 2

3. Проверим, является ли квадратное уравнение положительным или отрицательным:

Для этого мы можем использовать дискриминант. Дискриминант D для уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае:

a = 1, b = -5, c = 2

D = (-5)^2 - 4(1)(2) = 25 - 8 = 17

4. Анализ дискриминанта:

Если D > 0, то у нас есть два различных корня, что означает, что уравнение имеет два решения.

Если D = 0, то у нас есть только один корень, что означает, что уравнение имеет одно решение.

Если D < 0, то у нас нет ни одного решения, и уравнение не имеет решений.

В нашем случае D = 17 > 0, поэтому у нас есть два корня.

5. Нахождение корней уравнения:

Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (-(-5) ± √17) / (2*1)

x = (5 ± √17) / 2

Таким образом, у нас есть два корня: x = (5 + √17) / 2 и x = (5 - √17) / 2.

6. Проверка интервалов:

Нам нужно проверить, в каких интервалах неравенство выполняется или не выполняется. Для этого мы можем выбрать тестовую точку в каждом интервале и подставить ее в исходное неравенство.

* Интервал I: x < (5 - √17) / 2

Давайте выберем x = 0, как тестовую точку:

(0 - 2) > 0(0 - 4) -2 > 0

Условие не выполняется, неравенство неверно для интервала I.

* Интервал II: (5 - √17) / 2 < x < (5 + √17) / 2

Давайте выберем x = 3, как тестовую точку:

(3 - 2) > 3(3 - 4) 1 > -3

Условие выполняется, неравенство верно для интервала II.

* Интервал III: x > (5 + √17) / 2

Давайте выберем x = 6, как тестовую точку:

(6 - 2) > 6(6 - 4) 4 > 12

Условие не выполняется, неравенство неверно для интервала III.

7. Вывод:

Исходное неравенство (x-2) > x(x-4) выполняется только для интервала II: (5 - √17) / 2 < x < (5 + √17) / 2. В остальных интервалах неравенство не выполняется.