Question

Разность двух натуральных чисел равна 1. Сумма этих чисел меньше их произведения на 19. Найдите эти числа

Answer 1

Пусть первое число будет х, а второе - у. Разность двух натуральных чисел равен 1, то есть, (x-y=1), а сумма этих меньше их произведения на 19, то есть, (x+y=xy-19).

Составим систему уравнений

$\displaystyle + \left \{ {{x-y=1} \atop {x+y=xy-19}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x-y=1} \atop {2x=xy-18}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x=1+y} \atop {2(1+y)=y(1+y)-18}} \right. \\\\ 2+2y=y+y^2-18\\ y^2-y-20=0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант
$D=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-20)=1+80=81\\ \sqrt{D}=9$
Поскольку D>0, то квадратное уравнение имеет 2 корня.

$y_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{1+9}{2\cdot1} =5$

$y_2=\dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{1-9}{2\cdot1}=-4$ - не натуральное число.

$x_1=1+y_1=1+5=6$

Итак, первое число будет 6, а второе - 5.

Ответ: 6 и 5.

Answer 2

Давайте представим, что первое число равно x, а второе число равно y. По условию задачи, разность двух натуральных чисел равна 1, то есть x - y = 1.

Также, сумма этих чисел меньше их произведения на 19, то есть x + y < xy - 19.

Теперь, используя первое уравнение, мы можем выразить x через y: x = y + 1.

Подставим это значение во второе уравнение:

(y + 1) + y < (y + 1) * y - 19.

Раскроем скобки:

2y + 1 < y^2 + y - 19.

Полученное уравнение является квадратным уравнением, которое можно решить. Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

y^2 - y - 2y + 1 - 19 > 0.

y^2 - 3y - 18 > 0.

Теперь найдем корни этого уравнения, используя квадратное уравнение:

D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-18) = 9 + 72 = 81.

Так как дискриминант D положительный, у нас есть два различных действительных корня, которые можно найти:

y1 = (-(-3) + sqrt(81)) / (2 * 1) = (3 + 9) / 2 = 12 / 2 = 6,

y2 = (-(-3) - sqrt(81)) / (2 * 1) = (3 - 9) / 2 = -6 / 2 = -3.

Теперь мы знаем два возможных значения для y, а именно 6 и -3.

Подстановка значений

Давайте подставим каждое значение y в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения x:

Для y = 6:

x = y + 1 = 6 + 1 = 7.

Для y = -3:

x = y + 1 = -3 + 1 = -2.

Итак, мы нашли два набора чисел, которые удовлетворяют условию задачи:

Первый набор: x = 7, y = 6. Второй набор: x = -2, y = -3.

Таким образом, два натуральных числа, которые удовлетворяют условию задачи, это (7, 6) и (-2, -3).