Question

Исследовать функцию y=x^2/x+1 и построить график. Пожалуйста,очень нужно.

Answer 1

Решение:
y(x)=x²/(x-1)
1) Область определения: (- ∞;1) (1;∞)
2) Множество значений: (0;∞)
3) Проверим является ли функция четной или нечетной:
y(х) = x²/(x-1)
y(-x)=x²/(-x-1) , так как y(х) ≠y(-х) и y(-х) ≠-y(х) , то функция не является ни четной ни не четной.
4)Найдем координаты точек пересечения с осями координат:
а) с осью ОХ: у=0, получаем: x²/(x-1) =0,
x²=0
x=0 график пересекат ось обсцисс и ординат в точке (0;0)
5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции:
y'=(2x(x-1)-x²)/(x-1)²=(x²-2x)/(x-1)²; y'=0
(x²-2x)/(x-1)²=0,
x²-2x=0
x1=0
x2=2 Получили 2 стационарные точки, проверим их на экстремум:
Так как на промежутках (- ∞;0) (2;∞) y'>0, то на этих промежутках функция возрастает.
Так как на промежутках (0;1) (1;2) у'< 0, то на этих промежутках функция убывает.
Точка х=0 является точкой максимума у (0)=0
Точка х=2 является точкой минимума у (2)=4
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
fу"=((2x-2)(x-1)²-2(x-1)(x²-2x))/(x-1)^4=2/(x-1)³; y"=0
2/(x-1)³=0, уравнение не имеет корней, следовательно точек перегиба функция не имеет.
Так как на промежутке (1;∞) , y"> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз.
Так как на промежутке (- ∞;1) y"< 0 то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх
7) Проверим имеет ли график функции асимптоты:
а) вертикальные. Найдем односторонние пределы в точке разрыва х=1
lim (прих->1-0) (x²/(x-1))=-∞
lim (прих->1+0) (x²/(x-1))=∞ так как пределы бесконечны то прямая х=1 является вертикальной асимптотой.
б) Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты вида у=kx+b
k=lim (при х->∞)(y(x)/x)=lim (при х->∞)( x²/(x(x-1))=1
b=lim (при х->∞)(y(x)-kx)=lim (при х->∞)(x²/(x-1)-x)=1
Итак прямая у=x+1 является наклонной асимптотой.
Все стройте график.

Answer 2

Исследование функции y = x^2 / (x + 1) и построение графика

Для начала, давайте рассмотрим функцию y = x^2 / (x + 1). Чтобы исследовать эту функцию, мы можем проанализировать ее поведение при различных значениях x.

1. Определение области определения: Функция y = x^2 / (x + 1) определена для всех значений x, кроме x = -1, так как в этом случае знаменатель становится равным нулю, что приводит к неопределенности.

2. Анализ поведения функции: Давайте рассмотрим некоторые особенности этой функции:

- При x → -∞ и x → +∞, функция стремится к нулю. Это можно объяснить тем, что при больших значениях x, числитель x^2 растет быстрее, чем знаменатель (x + 1). - Функция имеет вертикальную асимптоту при x = -1. Это происходит из-за неопределенности, когда знаменатель равен нулю. - Функция не имеет горизонтальных асимптот.

3. Построение графика: Давайте построим график функции y = x^2 / (x + 1) для лучшего понимания ее поведения.


На графике видно, что функция имеет вертикальную асимптоту при x = -1 и стремится к нулю при x → -∞ и x → +∞.

Примечание: Для более точного построения графика и дополнительной информации о функции, рекомендуется использовать математические программы или онлайн-графические калькуляторы.

Источники: