Question

Решить неравенcтво LOGx+2 от (LOG4 от (5-4^x)) больше или равно 1

Answer 1

$\\ \log_{x+2}\log_4(5-4^x)=1\\ O.O.\Phi.:\\ 1)\quad 5-4^x>0\\ 5-4^x=0\Rightarrow4^x=5\Rightarrow x=\log_45\approx1,16\\ x\in(-\infty;1,16):x=0\Rightarrow5-4^0=4>0\\ x\in(1,16;+\infty):x=2\Rightarrow5-4^2=-9<0\\ 2)\quad x+2>0\Rightarrow x>-2\\ \Righarrow x\in(-2;1,16)\\ \log_{x+2}\log_4(5-4^x)=1\\ (x+2)^1=\log_4(5-4^x)\\ 5-4^x = 4^{x+2}\\ 5-4^x=4^2\cdot4^x\\ 4^x(16+1)=5 4^x=\frac{5}{17}\\ x=\log_4\frac{5}{17}\approx-0,88\\ -0,88\in O.O.\Phi\\x\in(-2;-0,88)\cup(-0,88;1,16)$

Интервалы проверьте сами.

Answer 2

Чтобы решить неравенство LOG(x^2) > LOG4(5-4^x) + 1, нам придется применить различные свойства логарифмов и алгебраические преобразования. Давайте разберемся с неравенством пошагово.

1. Изначальное неравенство: LOG(x^2) > LOG4(5-4^x) + 1

2. Используем свойство логарифма LOG(a^b) = b * LOG(a) для левой части неравенства: 2 * LOG(x) > LOG4(5-4^x) + 1

3. Переносим 1 на правую часть неравенства: 2 * LOG(x) - 1 > LOG4(5-4^x)

4. Используем свойство логарифма LOG(a * b) = LOG(a) + LOG(b) для правой части неравенства: 2 * LOG(x) - 1 > LOG4(5) + LOG4(1-4^x)

5. Упрощаем правую часть: 2 * LOG(x) - 1 > LOG4(5) + LOG4(1) - LOG4(4^x)

6. LOG4(5) = 1, так как 4 в степени 1 равно 4. LOG4(1) = 0, так как любое число в степени 0 равно 1. Также, LOG4(4^x) = x, так как логарифмы с одинаковыми основаниями и равными аргументами сокращаются.

7. Получаем: 2 * LOG(x) - 1 > 1 + 0 - x

8. Упрощаем: 2 * LOG(x) + x > 2

9. Для решения неравенства, нам нужно найти значения x, при которых это неравенство выполняется. В данном случае, нам необходимо использовать численные методы или графический анализ для определения точных значений x.

Однако, мы можем дать некоторые общие наблюдения:

- 2 * LOG(x) + x > 2 - это квадратичное уравнение, и его график представляет собой параболу, открывающуюся вверх.

- При x = 0, левая часть равна 0, а правая часть равна 2. Таким образом, x = 0 не является решением неравенства.

- При больших положительных значениях x, левая часть будет стремиться к плюс бесконечности, в то время как правая часть останется константой 2. Таким образом, для достаточно больших положительных значений x, неравенство будет выполняться.

- При отрицательных значениях x, левая часть будет стремиться к минус бесконечности, в то время как правая часть останется константой 2. Таким образом, для отрицательных значений x, неравенство не будет выполняться.

Таким образом, решение данного неравенства будет зависеть от конкретного значения x, и требуется дополнительный анализ для определения точного диапазона значений x, при которых неравенство выполняется.