Question

Решите дробно-рациональное уравнение (x+3)/(x-3) + (x-3)/(x+3) = 10/3

Answer 1

$\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{10}{3}\\ \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{10}{3} \\ 10(x^2-9) = 3(x^2+6x+9+x^2-6x+9)\\ 10x^2 - 90 = 6x^2 + 54\\ 4x^2 = 144\\ x^2 = 36\\ x = \pm6$

Answer 2

Чтобы решить данное дробно-рациональное уравнение, мы должны избавиться от знаменателей и найти значения переменной x, которые удовлетворяют уравнению. Давайте пошагово решим его.

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Начнем с приведения каждого слагаемого к общему знаменателю. В данном случае, общим знаменателем будет (x-3)(x+3). Преобразуем каждое слагаемое, чтобы они имели общий знаменатель:

(x+3)/(x-3) + (x-3)/(x+3) = 10/3

Умножим каждое слагаемое на недостающие множители, чтобы получить общий знаменатель:

[(x+3)(x+3)]/[(x-3)(x+3)] + [(x-3)(x-3)]/[(x-3)(x+3)] = 10/3

Шаг 2: Упрощение уравнения

Теперь упростим числитель каждого слагаемого и объединим их:

(x+3)(x+3) + (x-3)(x-3) = (10/3)(x-3)(x+3)

Раскроем скобки:

(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 6x + 9) = (10/3)(x^2 - 9)

Распределение:

2x^2 + 18 = (10/3)x^2 - 30

Шаг 3: Перенос всех слагаемых на одну сторону

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

2x^2 + 18 - (10/3)x^2 + 30 = 0

Упростим:

2x^2 - (10/3)x^2 + 48 = 0

(6/3)x^2 - (10/3)x^2 + 48 = 0

(-4/3)x^2 + 48 = 0

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь имеем квадратное уравнение:

(-4/3)x^2 + 48 = 0

Перенесем 48 на другую сторону:

(-4/3)x^2 = -48

Умножим обе стороны на -3/4, чтобы избавиться от коэффициента перед x^2:

x^2 = (3/4) * 48

x^2 = 36

Шаг 5: Нахождение корней

Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

x = ±√36

x = ±6

Таким образом, решениями дробно-рационального уравнения (x+3)/(x-3) + (x-3)/(x+3) = 10/3 являются x = 6 и x = -6.