Question

Решите уравнение (36^sinx)^-cosx=6^sinx. И найдите все корни этого уравнения,принадлежащие отрезку (-7П/2;-2П). Пожалуйста объясните вторую часть упражнения.

Answer 1

Само уравнение несложное))
про отбор корней из промежутка...
вы написали слово "отрезок", а сам промежуток указали в круглых скобках (это важно)... если "отрезок", то скобки должны быть квадратные 
[-7π/2; -2π] и тогда в отборе три корня: {-7π/2; -5π/2; -7π/3} 
если для отбора указан промежуток, то решение на рисунке))
мне больше нравится считать дугами, т.е. от начала отсчета (положительного направления оси ОХ) идем ПО часовой стрелке и считаем четвертинками окружности =дугами по (π/2) радиан, пока не насчитаем 7 таких четвертинок (-7π/2) и отмечаем (закрашиваем, заштриховываем...) указанный промежуток (или отрезок)
отмеченные корни, попавшие в заштрихованную область, и есть решение второй части упражнения...
только их "назвать" нужно правильно... 
например, нижняя на оси ОУ точка соответствует углу и (+3π/2) и (-π/2) и (-5π/2) осталось выбрать нужное...из указанного промежутка...

Answer 2

Давайте решим уравнение поэтапно и найдем все корни на указанном отрезке.

Решение уравнения:

Исходное уравнение: $(36^{\sin x})^{-\cos x} = 6^{\sin x}$

Для удобства, обозначим $a = 36^{\sin x}$ и $b = 6^{\sin x}$. Тогда уравнение можно переписать следующим образом: $a^{-\cos x} = b$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, чтобы избавиться от экспонент:

$\log(a^{-\cos x}) = \log(b)$

Используем свойство логарифма $\log(a^b) = b \log(a)$:

$-\cos x \log(a) = \log(b)$

Теперь подставим обратно значения $a$ и $b$:

$-\cos x \log(36^{\sin x}) = \log(6^{\sin x})$

Применим свойство логарифма $\log(a^b) = b \log(a)$ и $\log(a^b) = b \log(a)$:

$-\cos x \sin x \log(36) = \sin x \log(6)$

Теперь допустим, что $\sin x \neq 0$. Тогда можно сократить на $\sin x$:

$-\cos x \log(36) = \log(6)$

Заметим, что $\log(36) = \log(6^2) = 2 \log(6)$. Подставим это значение обратно:

$-2 \cos x \log(6) = \log(6)$

Сократим на $\log(6)$:

$-2 \cos x = 1$

Разделим на $-2$:

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем все значения $x$, для которых выполняется $\cos x = -\frac{1}{2}$ на отрезке $(-7\pi/2, -2\pi)$.

Нахождение корней:

На отрезке $(-7\pi/2, -2\pi)$, значение косинуса равно $-\frac{1}{2}$ на точках $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$. Так как косинус имеет период $2\pi$, мы можем добавить к этим значениям любое целое число умноженное на $2\pi$ для получения всех корней на данном отрезке.

Таким образом, все корни уравнения $(36^{\sin x})^{-\cos x} = 6^{\sin x}$ на отрезке $(-7\pi/2, -2\pi)$ равны:

$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, и $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

Пожалуйста, дайте знать, если у вас есть еще вопросы или если что-то не ясно!