Question

На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Разрешается выбрать любые два числа x и y, стереть их, и записать вместо них на доску числа x-1 и y+3. Через 100 таких операций на доске оказались числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, N (записанные в некотором порядке). Найдите наибольшее число N, для которого такое могло получиться.

Answer 1

У меня получилось 201.
В задаче сказано, что нужно найти наибольшее число N, т.е. для этого подойдёт число 9, которое при каждой операции будет увеличиваться на 3.
Но при каждой такой операции на единицу будут уменьшаться остальные числа. Поэтому помимо числа 9 нужно ещё позаботиться ещё и о них, т.е. на увеличение числа 9 уйдёт не 100 операций, а меньше. Нужно вычислить, сколько же именно уйдёт таких операций. Для этого сначала нужно подсчитать количество операций при манипулировании числами 1,2,3,4,5,6,7,8. Если в начале их сумма была 1+2+3+4+5+6+7+8=36, то в конце должна быть сумма 2+3+4+5+6+7+8+9=44. При каждой такой операции именно с этими числами их сумма будет увеличиваться на 2. Получается часть операций уйдёт на увеличение суммы первых 8-ми чисел, а остальная часть на увеличение последнего числа 9 и уменьшение на единицу суммы первых 8-ми чисел. Зная такие данные, составим уравнение: 
36 + 2*x - (100-x) = 44, где x - число операций по увеличению суммы первых 8-ми чисел
Левая часть уравнения (36+ 2*x) означает, что через x операций сумма первых 8-ми чисел достигнет какого-то числа. Затем через 100-x операций эта сумма, как мы уже выше посчитали, должна быть равна 44.
Решая это уравнение, получаем x = 36.
Значит, на увеличение числа 9 уйдёт 100-36=64 операций.
И в самом конце вместо числа 9 будет число 9+3*64=201

Answer 2

Problem Analysis

In this problem, we are given a sequence of numbers written on a board: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. We are allowed to choose any two numbers, erase them, and replace them with x-1 and y+3. We repeat this operation 100 times, and after that, the numbers on the board are 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, and N (in some order). We need to find the largest possible value of N.

Solution

To find the largest possible value of N, we need to understand the pattern of the numbers after each operation. Let's analyze the process step by step:

1. After the first operation, we choose 1 and 2, erase them, and replace them with 0 and 5. The numbers on the board become 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 5.

2. After the second operation, we choose 0 and 3, erase them, and replace them with -1 and 6. The numbers on the board become -1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 5, 6.

3. After the third operation, we choose 4 and 5, erase them, and replace them with 3 and 8. The numbers on the board become -1, 3, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 8.

4. After the fourth operation, we choose 6 and 7, erase them, and replace them with 5 and 10. The numbers on the board become -1, 3, 5, 8, 9, 10, 5, 6, 8, 10.

5. After the fifth operation, we choose 8 and 9, erase them, and replace them with 7 and 12. The numbers on the board become -1, 3, 5, 7, 10, 12, 5, 6, 8, 10, 12.

From this pattern, we can observe that after each operation, the number of elements on the board increases by 1. Therefore, after 100 operations, the number of elements on the board will be 9 + 100 = 109.

To find the largest possible value of N, we need to determine the maximum value among the numbers on the board. From the pattern above, we can see that the maximum value is 12. Therefore, the largest possible value of N is 12.

Conclusion

The largest possible value of N, after performing 100 operations as described, is 12.