Question

Решить неравенство: 1) х⁴+4х²-5/ x²+5x+6 ≤ 0 2)x⁴-2x²-8/ x⁴-2x²-3 > 0

Answer 1

1) (х⁴+4х²-5)/ (x²+5x+6) ≤ 0
x²=a
4a²+a-3=0
D=1+48=49
a1=(-1-7)/8=-1 ⇒x²=-1 U  a2=(-1+7)/8=0,75⇒x²=3/4⇒x=-√3/2 U x=√3/2
x1+x2=-5 U x1*x2=6⇒x1=-3 U x2=-2
          +                  _                +                  _                +
-------------(-3)-------------(-2)----------[-√3/2]---------[√3/2]---------------
x∈(-3;-2) U [-√3/2;√3/2]

2)(x⁴-2x²-8)/ (x⁴-2x²-3) > 0
x²=a
a²-2a-8=0
a1=a2=2 U a1*a2=-8
a1=-2⇒x²=-2 U a2=4⇒x²=4⇒x=-2 U x=2
x²=b
b²-2b-3=0
b1=b2=2 U b1*b2=-3
b1=-1⇒x²=-1 U b2=3⇒x=-√3 U x=√3
          +                  _                +                  _                +
-------------(-2)-------------(-√3)----------(√3)---------(2)---------------
x∈(-∞;-2) U (-√3;√3) U (2;∞)

Answer 2

Чтобы решить неравенства, нужно найти значения переменных, при которых неравенство будет выполняться или не выполняться.

Решение неравенства 1: (х⁴ + 4х² - 5) / (x² + 5x + 6) ≤ 0

Для начала, давайте найдем точки, в которых знаменатель (x² + 5x + 6) обращается в ноль. Это можно сделать, решив квадратное уравнение:

x² + 5x + 6 = 0

(x + 3)(x + 2) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x = -3 и x = -2.

Теперь давайте рассмотрим интервалы между этими точками. Выберем значения из каждого интервала и проверим знак выражения (х⁴ + 4х² - 5) / (x² + 5x + 6) внутри каждого интервала.

1. Когда x < -3: Выберем x = -4: (х⁴ + 4х² - 5) / (x² + 5x + 6) = ((-4)⁴ + 4(-4)² - 5) / ((-4)² + 5(-4) + 6) = (256 + 64 - 5) / (16 - 20 + 6) = 315 / 2 = 157.5 Знак выражения положительный.

2. Когда -3 < x < -2: Выберем x = -2.5: (х⁴ + 4х² - 5) / (x² + 5x + 6) = ((-2.5)⁴ + 4(-2.5)² - 5) / ((-2.5)² + 5(-2.5) + 6) = (39.0625 + 25 - 5) / (6.25 - 12.5 + 6) = 59.0625 / 0.75 = 78.75 Знак выражения положительный.

3. Когда x > -2: Выберем x = -1: (х⁴ + 4х² - 5) / (x² + 5x + 6) = ((-1)⁴ + 4(-1)² - 5) / ((-1)² + 5(-1) + 6) = (1 + 4 - 5) / (1 - 5 + 6) = 0 / 2 = 0 Знак выражения равен нулю.

Итак, мы видим, что неравенство (х⁴ + 4х² - 5) / (x² + 5x + 6) ≤ 0 выполняется при x < -3 и -2 < x ≤ -1.

Решение неравенства 2: (x⁴ - 2x² - 8) / (x⁴ - 2x² - 3) > 0

Давайте найдем точки, в которых знаменатель (x⁴ - 2x² - 3) обращается в ноль. Для этого решим квадратное уравнение:

x⁴ - 2x² - 3 = 0

Перейдем к переменной u = x². Тогда уравнение примет вид:

u² - 2u - 3 = 0

(u - 3)(u + 1) = 0

Таким образом, получаем два значения u: u = 3 и u = -1.

Теперь найдем значения x, соответствующие этим значениям u:

1) u = 3: x² = 3 x = ±√3

2) u = -1: x² = -1 Нет реальных решений.

Теперь рассмотрим интервалы между этими точками и выберем значения x из каждого интервала, чтобы проверить знак выражения (x⁴ - 2x² - 8) / (x⁴ - 2x² - 3) внутри каждого интервала.

1. Когда x < -√3: Выберем x = -4: (x⁴ - 2x² - 8) / (x⁴ - 2x² - 3) = ((-4)⁴ - 2(-4)² - 8) / ((-4)⁴ - 2(-4)² - 3) = (256 - 32 - 8) / (256 - 32 - 3) = 216 / 221 Знак выражения положительный.

2. Когда -√3 < x < √3: Выберем x = 0: (x⁴ - 2x² - 8) / (x⁴ - 2x² - 3) = (0⁴ - 2(0)² - 8) / (0⁴ - 2(0)² - 3) = (-8) / (-3) = 8/3 Знак выражения положительный.

3. Когда x > √3: Выберем x = 2: (x⁴ - 2x² - 8) / (x⁴ - 2x² - 3) = (2⁴ - 2(2)² - 8) / (2⁴ - 2(2)² - 3) = (16 - 8 - 8) / (16 - 8 - 3) = 0 / 5 = 0 Знак выражения равен нулю.

Итак, мы видим, что неравенство (x⁴ - 2x² - 8) / (x⁴ - 2x² - 3) > 0 выполняется при x < -√3 и -√3 < x < √3.