Question

Сколько корней уравнения sinx+cos2x=0 находятся на отрезке -п,3п

Answer 1

Sinx+cos2x=0 sinx+cos^2 x-sin^2 x=0 sinx+1-sin^2 x-sin^2=0 1-2sin^2 x-sinx=0 2sin^2 x+sinx-1=0 sinx=t 2t^2+t-1=0 D=1+8=9 t1=(-1+3)/4=1/2 t2=(-1-3)/4=-1 sinx=1/2 x=(-1)^n*arcsin1/2+пи*n x1=(-1)^n*Пи/6+пи*n X2=3Пи/3+2пи*n

Answer 2

Для решения уравнения sin(x) + cos(2x) = 0 на отрезке [-π, 3π] сначала найдем корни на интервале [0, 2π], а затем проверим их на отрезке [-π, 3π].

Для начала перепишем уравнение в виде sin(x) + cos(x)*cos(x) - sin(x)*sin(x) = 0, используя формулу двойного угла для cos(2x). Теперь преобразуем уравнение: sin(x) + cos(x)^2 - sin(x)^2 = 0 sin(x) + (1 - sin(x)^2) - sin(x)^2 = 0 1 - 2sin(x)^2 = 0 sin(x)^2 = 1/2 sin(x) = ±√(1/2) sin(x) = ±1/√2

Таким образом, на интервале [0, 2π] корни уравнения sin(x) + cos(2x) = 0 находятся в точках x = π/4, 3π/4, 5π/4 и 7π/4.

Теперь проверим эти корни на отрезке [-π, 3π]. Корни находятся в точках x = π/4, 3π/4, 5π/4 и 7π/4. Из них только корень x = π/4 лежит на отрезке [-π, 3π].

Таким образом, уравнение sin(x) + cos(2x) = 0 имеет один корень на отрезке [-π, 3π], и этим корнем является x = π/4.