Question

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (-1;2), B (2; 5), C (2;1), D (-1;-2) является параллелограммом.

Answer 1

Даны точки A (-1;2), B (2;  5), C (2;1), D (-1;-2).
У параллельных прямых отношения Δу/Δх (это тангенс угла наклона к оси Ох) равны.
АВ: Δу = 5 - 3 = 3, Δх = 2 - (-1) = 3. 3/3 = 1.
ДС: Δу = 1 - (-2) = 3, Δх = 1 - (-2) = 3. 3/3 = 1 параллельны.

ВС: Δу = 1 - 5 = -4, Δх = 2 - 2 = 0. вертикальная линия
АД: Δу = -2 - 2 = -4, Δх = -1 - (-1) = 0. вертикальная линия - параллельны.

Answer 2

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, мы можем воспользоваться свойствами параллелограммов. Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.

Давайте начнем с вычисления векторов, соединяющих вершины четырёхугольника. Для этого мы можем использовать координаты вершин ABCD.

Вектор AB: \[ \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Вектор BC: \[ \vec{BC} = \begin{pmatrix} 2 - 2 \\ 1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix} \]

Вектор CD: \[ \vec{CD} = \begin{pmatrix} -1 - 2 \\ -2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Вектор DA: \[ \vec{DA} = \begin{pmatrix} -1 - (-1) \\ 2 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} \]

Теперь мы можем проверить, являются ли противоположные стороны равными. Для этого мы сравним вектора AB и CD, а также вектора BC и DA.

\[ \vec{AB} = \vec{CD} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] \[ \vec{BC} = \vec{DA} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix} \]

Таким образом, мы видим, что вектора, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника ABCD, равны друг другу. Это свойство является одним из свойств параллелограмма.

Теперь давайте проверим, являются ли противоположные стороны параллельными. Для этого мы можем вычислить отношение компонент векторов AB и CD, а также BC и DA.

\[ \frac{3}{-3} = -1 \] \[ \frac{0}{4} = 0 \]

Мы видим, что отношения компонент векторов равны -1 и 0 соответственно, что также говорит о том, что противоположные стороны параллельны.

Исходя из этих свойств, мы можем сделать вывод, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.